2. Маятники

Маятники под действием силы тяжести также совершают гармонические колебания, если углы отклонения от положения равновесия малы. Маятники бывают: математический, физический и пружинный.

Пружинный маятник – это тело массой т, подвешенное на абсолютно упругой пружине и совершающий колебания под действием упругой силы.

, (3)

где k – жесткость пружины (коэффициент упругости).

Рисунок 1 – Пружинный маятник

Уравнение движения маятника:

или . (4)

Сравнивая это уравнение с уравнением движения гармонического осциллятора , мы видим, что пружинный маятник совершает колебания по закону

_,

с циклической частотой

_, (5)

и периодом

_. (6)

Физическим маятником называют твердое тело, имеющее неподвижную ось вращения, проходящую через точку, не совпадающую с его центром масс, и совершающее колебания под действием силы тяжести. Период малых колебаний (угол отклонения от положения равновесия равен 3-5^о) физического маятника не зависит от амплитуды и определяется по формуле

, (7)

где – момент инерции маятника относительно оси вращения,

– его масса,

– расстояние от оси вращения до центра инерции,

– ускорение свободного падения

Величину

(8)

называют приведенной длиной физического маятника. Таким образом, период колебаний физического маятника можно записать в виде

. (9)

Частным случаем физического маятника является математический маятник. Математическим маятником называется идеализированная система, представляющая собой материальную точку, подвешенную на невесомой и нерастяжимой нити и совершающую колебания под действием силы тяжести. Выведем формулу периода колебаний математического маятника.

Рисунок 2 – Математический маятник

Отклоним маятник из положения равновесия на некоторый угол α и определим действующую при этом на маятник силу. Сила, действующая на маятник, равна mg, где m – масса маятника и g – ускорение силы тяжести (ускорение свободного падения). Эту силу мы разложим на две составляющие (рис.2): одну вдоль нити и другую перпендикулярно нити. Первая составляющая компенсируется натяжением нити, а вторая вызывает движение маятника. Эта составляющая равна очевидно,

_{. (10)}

_{В случае малых колебаний угол α мал. При этом sin α приближенно равен самому углу α, так что}

_{. (11)}

_{Замечая, что lα (где l –длина маятника) представляет собой путь x, пройденный материальной точкой, запишем F в виде}

_{. (12)}

_{Отсюда видно, что коэффициент жесткости в случае малых колебаний маятника k=mg/l. Частота гармонических колебаний ,поэтому частота колебаний математического маятника будет}

_{. (13)}

_{Период колебаний маятника равен}

_{, (14)}

где – длина маятника,

– ускорение свободного падения.

2. Свободное падение

Под действием силы тяжести всякое тело падает на Землю с ускорением – ускорением свободного падения.

Движение называют свободным, когда его траектория и скорость ничем не ограничиваются. Свободным падением будет движение тела в безвоздушном пространстве (вакууме) под действием силы тяжести.

_{Ускорение g определяется только полем земного тяготения в данной точке, поэтому оно не зависит от формы, размеров, массы тела, его скорости.}

_{Поскольку на разных географических широтах сила тяжести одного и того же тела разная, то ускорение свободного падения g меняется в зависимости от широты места. На полюсах, где линейная скорость вращения точек Земли равна нулю, сила тяжести mg максимальна и равна силе притяжения F}

, (15)

_{где Мз, Rз – масса и радиус Земли соответственно,}

– гравитационная постоянная ( ).

_{На полюсе ускорение свободного падения g=9,832 м/ с2. На экваторе сила тяжести принимает минимальное значение и ускорение свободного падения g=9,781 м/ с2. Так как Земля имеет не сферическую форму, а «сплюснута» у полюсов, то это также приводит к различию значений g на экваторе и полюсах. Значение g для разных широт определено экспериментально. Ускорение свободного падения на широте φ=45о называется нормальным и равно 9,807м/с2. Так как различие значений g невелико, при решении практических задач ускорение свободного падения принимается равным 9,81 м/с2.}

_{Все перечисленные значения ускорения свободного падения относятся к определению этой величины на уровне моря. Из равенства инертной массы тела, которая входит во второй закон Ньютона, и его гравитационной массы в законе Всемирного тяготения следует, что с увеличением высоты подъема над уровнем моря ускорение свободного падения изменяется по закону}

, (16)

_{где g−ускорение свободного падения на высоте h над уровнем моря, go− на уровне моря.}

_{Для примера приведены значения ускорения свободного падения для некоторых городов (географические координаты по Гринвичу).}

_{Таблица 1 – Значения ускорения свободного падения для различных географических точек}

Город	Долгота	Широта	Высота над уровнем моря, м	Ускорение свободного падения, м/с2
Берлин	13,40 в.д.	52,50 с.ш.	40	9,81280
Будапешт	19,06 в.д.	47,48 с.ш.	108	9,80852
Вашингтон	77,01 з.д.	38,89 с.ш.	14	9,80112
Вена	16,36 в.д.	48,21 с.ш.	183	9,80860
Гринвич	0,0 в.д.	51,48 с.ш.	48	9,81188
Каир	31,28 в.д.	30,07 с.ш.	30	9,79317
Киев	30,30 в.д.	50,27 с.ш.	179	9,81054
Мадрид	3,69 в.д.	40,41 с.ш.	655	9,79981
Москва	37,61в.д.	55,75 с.ш.	151	9,8154
Нью-Йорк	73,96 з.д.	40,81 с.ш.	38	9,80247
Одесса	30,73 в.д.	46,47 с.ш.	54	9,80735
Осло	10,72 в.д.	59,91 с.ш.	28	9,81927
Париж	2,34 в.д.	48,84 с.ш.	61	9,80943
Прага	14,39 в.д.	50,09 с.ш.	297	9,81014
Рим	12,99 в.д.	41,54 с.ш.	37	9,80312
Стокгольм	18,06 в.д.	59,34 с.ш.	45	9,81843
Токио	139,80 в.д.	35,71 с.ш.	18	9,79801

_{Можно сделать окончательный вывод: ускорение свободного падения зависит от широты местности, высоты над уровнем моря и от плотности залегающих пород.}