2. Способы доказательства тождеств.

Способ 1. Преобразование одной из частей тождества.

Пример 1. (а – b)³ = а³ –3а² b + 3а b² – b³ (куб разности)

(

По опр. степени с нат. показ.

По формуле

По правилу раскрыт. скобок

приведение подобных

а – b)³ =(а – b)² (а – b) = (а² –2а b + b²) (а – b) = а³ –2а² b –а² b + а b² + 2а b²– b³=

= а³ –3а² b + 3а b² – b³.

Задание.

Запишите тождество квадрата разности: _____________________________

Расскажите его доказательство.

Негласный прием доказательств в математике: сведение к известному!

Пример 2. – = = (правило замены знака в алгебраической дроби)

П

По основному свойству дроби

реобразуем правую часть = = .

По правилу умножения на -1

По правилу умножения дробей

По правилу умножения на -1

= = (-1) =

Пример 3. = , где а > 0(произведение степеней с одинаковым основанием и дробным показателем).

По опр. степени с дроб. показ.

По правилу умножения степеней с целым. показ.

По правилу сложения алгебраических дробей.

= = = = =

По правилу умножения корней с один. показ.

По опр. степени с дроб. показ.

Задание.

Запишите тождество возведения степени с дробным показателем в натуральную степень: ________________________________________________

Расскажите его доказательство.

Способ 2. Оценка частей тождества с позиций определения.

Пример. = , где а > 0 (возведение арифметического корня в степень).

В правой части равенства стоит арифметический корень п-ой степени. По определению, арифметический корень п-ой степени – это такое неотрицательное число, п-ая степень которого равна подкоренному выражению, т.е. = х, где 1) х  0, 2) .

Докажем, что левая часть равенства равна х.

1) > 0, т.к. арифметический корень есть число неотрицательное по определению, а > 0 (по условию); возведение положительного числа в степень дает положительное число;

2

По правилу возведения степень в степень и коммутативному закону умножения

По тождеству

) найдем п-ую степень левой части, т.е. = =

Задание.

Запишите тождество извлечения корня из корня: ___________________________________

( = )

Расскажите его доказательство.

Способ 3. Введение новых переменных.

№	Пример 1. , где с  0 (сложение алгебраических дробей с одинаковым знаменателем)	Пример 2. logabc = logab + logac, где b >0, c > 0 (логарифм произведения)
	Введем новые переменные:
	= т, = п	_______ = т; ______= п
	Составим новые равенства, заменив операции на сопряженные:
	а = тс, ___ = ____.	____= ___, ___=____
	Выполним операцию с равенствами
	а __ b = тс ___ пс	ат ___ ап = b ___ с
	Преобразуем равенство:
	_______ = _____________	_________ = ______________
	Выразим введенные переменные и вернемся к старым:
	т + п =_________; ___+____ = .	т + п = __________; logabc = _____ + ______