2.4.8. Показатели статистической зависимости св. Общий случай

Пусть имеется система, состоящая из k случайных величин: . Пусть известна функция распределения или плотность распределения . На практике большое распространение получило нормальное распределение, плотность которого имеет вид:

f (x₁,x₂,…,x_k) = ,

где (х-а) и (х-а)′ – вектор-столбец, соответственно, вектор-строка переменных, состоящие из элементов х_i-a (i=1,2,…,k);

B^-1– матрица, обратная ковариационной матрице B=(К_ij)≡(cov(X_i,X_j));

Δ_B– определитель матрицы B.

В частности, при k=2 имеем:

B= ; B^-1= ; Δ_B= ;

(х-а)′B^-1(х-а) =

Подставляя полученные выражения в формулу для f (x₁,x₂,…,x_k) при k=2, получим выражение для двумерной плотности вероятности нормально распределенной случайной величины, приведенное ранее.

При k≥3, по аналогии с тем, как одномерные распределения выражаются через двумерные, можно получить двумерные распределения для каждой пары X_i, X_j (i ≠ j): для НСВ – плотности , для ДСВ – матрицы ( ) вероятностей произведения событий: . Определяя для каждой пары ковариации и коэффициенты корреляции, получим ковариационную матрицу (К_ij), по главной диагонали которой будут стоять дисперсии, и корреляционную матрицу , по главной диагонали которой будут стоять единицы, причем К_ij= К_ji и = .

Функция распределения зависит от условий проведения испытаний или наблюдений. Значит, от этих условий зависят и . Пусть, например, испытания будут проведены теперь при некоторых фиксированных значениях всех случайных величин, кроме X₁ и X₂. Если при этом уменьшится, то можно сделать вывод, что взаимозависимость между X₁ и X₂ во многом (или даже в значительной степени) была вызвана действием других (ныне фиксированных) факторов. И наоборот, если увеличится, то это будет означать, что другие факторы маскировали истинную взаимозависимость между X₁ и X₂. Поэтому, наряду с (их называют коэффициентами парной корреляции) используют и другие показатели статистической зависимости: множественные коэффициенты корреляции и частные коэффициенты корреляции.

1. Множественный коэффициент корреляции.

Рассмотрим совокупность случайных величин

Y_j=a_0j+ , ,

где коэффициенты а_ij определяются из условия минимума математического ожидания:

М[(X_j - Y_j)²]≡М[(X_j – a_0j – )²] →

Случайная величина Y_j называется наилучшим линейным приближением случайной величины X_j всеми остальными случайными величинами X_i, где . Тогда множественными коэффициентами корреляции называются величины:

,

Множественный коэффициент корреляции характеризует степень линейности связи между случайной величиной X_j и случайной величиной Y_j, являющейся линейной комбинацией остальных случайных величин X_i, наиболее близкой к случайной величине X_j в смысле среднего квадрата разности между X_j и Y_j. Заметим, что если X_j является линейной комбинацией всех остальных случайных величин, то и тогда =1. С другой стороны, =0 тогда и только тогда, когда X_j не коррелирована ни с одной из остальных случайных величин, т.е. когда = 0 при всех .

Квадрат множественного коэффициента корреляции можно вычислять по формуле:

,

где – определитель корреляционной матрицы R= , составленной из коэффициентов парной корреляции, R_jj – алгебраическое дополнение элемента .

При k=2 оба множественных коэффициента корреляции совпадают с обычным коэффициентом корреляции, т.е. = = . Действительно, в этом случае (j=1,2). Поэтому можно записать: , .

Подставляя это в первую формулу, получаем:

.

Чтобы воспользоваться второй формулой, вычисляем = , и определяем R₁₁= R₂₂=1. Тогда . Результат тот же.

При k=3 =1+ , R₁₁= , R₂₂= , R₃₃= . Пользуясь второй формулой, получим:

Заметим, что числитель не может быть отрицательной величиной и не может обратиться в ноль, кроме как в случае, когда и (если ). При . Таким образом, если X₁ не коррелированна ни с X₂, ни с X₃, то и наоборот. Аналогичный вид имеют и .