2.4. Системы случайных величин

2.4.1. Общий случай

Пусть имеется система случайных величин . Функция распределения есть вероятность произведения событий:

.

Плотность распределения:

Примеры систем СВ: 1) цены на n видов продукции, изменяющиеся во времени (если нет тенденций к их росту или падению) и/или в пространстве; 2) потребность (спрос) в n видах продукции; 3) n показателей качества единиц продукции (работ); 4) система экологических показателей.

2.4.2. Функция распределения системы двух св

Это вероятность произведения двух событий:

Свойства : 1) причем 2) - неубывающая по каждому аргументу 3) - непрерывна слева по каждому аргументу 4) Вероятность попадания случайной точки ( X,Y ) в прямоугольник: ≥ 0

5) одномерные функции распределения.

Определение. Случайные величины X, Y называются независимыми, если .

Для дискретных случайных величин X, Y из их независимости следует независимость любой пары событий: X=x_i, Y=y_j, где x_i, y_j – всевозможные значения СВ. Справедливо и обратное утверждение.

Пример. Экспоненциальное распределение системы независимых СВ:

2.4.3. Совместное распределение вероятностей системы двух дсв.

Оно задается матрицей (таблицей) значений вероятностей произведения событий: для различных . При этом

Примером системы двух дискретных СВ является число пропущенных студентом занятий (X) и оценка на экзамене (Y).

Если заданы , то

Условные вероятности: Если две ДСВ независимы, то и наоборот.

Пример 1. Пусть имеется система из двух случайных величин, каждая из которых может принимать значения 1 (успех) или 0 (неудача). Известна таблица

хi	yj
	0	1
0	0,3	0,2
1	0,1	0,4

вероятностей .

Тогда ;

;

Таблица значений функции распределения имеет вид:

хi	yj
	0	1	y>1
0	0	0	0
1	0	0,3	0,5
x>1	0	0,4	1

Действительно, =Р(X<0, Y<1)= 0; =Р(X<1, Y<1) = Р(X=0,Y=0)=0,3; = Р(X<1, Y<2)= Р(X<1)= Р(X=0)=р₁=0,5 и т.д.

Величины X и Y – зависимы. Для того, чтобы сделать такой вывод, достаточно заметить, что, например, р₁₁ ≠ р₁·q₁ или .

Пример 2. Пусть дано распределение системы двух случайных величин:

хi	yj
	0	1
0	0,18	0,42
1	0,12	0,28

Тогда ; р₂=0,4; q₁=0,3; q₂=0,7. Величины X и Y – независимы, так как р₁₁=0,18= р₁·q₁ =0,6∙0,3 и т. д.

2.4.4. Плотность распределения системы двух нсв

Это частная смешанная производная второго порядка от функции распределения:

Если задана плотность , то:

Свойства : 1) 2)

3) Вероятность попадания случайной точки в заданную область D:

4. Одномерные плотности распределения:

5) Если две НСВ независимы, то и наоборот.

Условные плотности: ; .