1.4.2 Застосування похідних для дослідження функцій

Похідні першого і другого порядку широко використовуються при дослідженні функцій.

Ознака зростання і спадання функцій. Якщо функція диференціюється на інтервалі і у всіх його точках похідна додатна, (від’ємна, ), то функція зростає (спадає) на цьому інтервалі.

Перша достатня умова екстремуму. Якщо функція диференціюється в точці і перша похідна функції змінює знак при переході через точку , то функція досягає в цій точці екстремуму, причому:

1. – точка максимуму, якщо знак змінюється з плюса на мінус;

2. – точка мінімуму, якщо знак змінюється з мінуса на плюс.

Друга достатня умова екстремуму. Якщо функція двічі диференціюється в точці , причому перша похідна функції дорівнює нулю, а друга похідна відмінна від нуля ( , ), то функція досягає в цій точці екстремуму, причому:

1. – точка максимуму, якщо ;

2. – точка мінімуму, якщо .

Точки, в яких функція досягає максимального або мінімального значення, називаються точками екстремуму, а значення функції в точці екстремуму називається екстремумом функції.

Точки, в яких похідна функції дорівнює нулю, називаються стаціонарними.

Стаціонарні точки, а також точки, в яких функція не диференціюється, має нескінченну похідну або в якій похідна не існує, називаються критичними точками.

Графік функції називається опуклим (увігнутим) на інтервалі, якщо всі точки її графіка розташовані нижче (вище) будь-якої дотичної, проведеної в довільній його точці (окрім точок дотику).

Точка, в якій графік функції змінює опуклість на угнутість (або навпаки) називається точкою перегину функції.

Якщо функція двічі диференціюється на інтервалі , то графік функції є опуклим (увігнутим), якщо ( ) для будь-якого .

Якщо друга похідна функції в точці дорівнює нулю і під час переходу через точку змінює знак, то точка є точкою перегину для графіка функції .

○ Приклад 1.4.8. Знайти інтервали опуклості, угнутості і точки перегину графіка функції .

Розв'язання. Знайдемо першу і другу похідні функції:

; ;

, .

Якщо , то – графік функції є опуклим.

Якщо , то – графік функції є увігнутим.

		3
	–	0	+
	опуклість	перегин, -12	угнутість

Оскільки друга похідна змінює знак під час переходу через точку з координатами , то це точка перегину. ●

Асимптотою графіка функції називається пряма, відстань до якої від точок кривої функції прямує до нуля, коли остання прямує до нескінченності.

Асимптоти кривих бувають вертикальні, горизонтальні і похилі.

Пряма називається вертикальною асимптотою графіка функції , якщо хоча б одна з односторонніх границь в точці є нескінченною, тобто або .

Пряма називається похилою асимптотою графіка функції , якщо .

Параметри і похилої асимптоти можна отримати з формул:

; . (1.4.15)

Зауваження. При визначенні похилої асимптоти параметри і потрібно знаходити за формулами (1.4.15) при і . Оскільки у графіка функції можуть бути різні похилі асимптоти при і .

Пряма називається горизонтальною асимптотою графіка функції , якщо існує кінцева границя функції

або .

○ Приклад 1.4.9. Знайти асимптоти графіка функції .

Розв'язання. Функція визначена у всіх точках окрім і . Дослідимо функцію в точках розриву:

, ; , ;

і – точки розриву другого роду.

Оскільки і , то і – вертикальні асимптоти графіка функції.

Знайдемо похилу асимптоту:

; .

Таким чином, – похила асимптота.

Оскільки , то графік функції не має горизонтальної асимптоти. ●

Побудова графіків функцій повинна супроводжуватися їх дослідженням.

Загальна схема дослідження функцій:

1. Знайти область визначення функції і точки розриву функції.

2. Перевірити функцію на періодичність, парність, непарність. Знайти точки перетину з осями координат.

3. Знайти точки екстремумів, проміжки зростання і спадання функції. Обчислити значення функції в точках екстремуму.

4. Визначити проміжки опуклості і угнутості на графіку функції, знайти точки перегину.

5. Знайти асимптоти кривої функції.

6. Побудувати графік функції.

Література: [1, с. 100 – 116, 125-133], [2, с. 176 ‑ 250], [4, с. 217 – 284], [5].