1.2 Аналітична геометрія

1.2.1 Рівняння прямої на площині

Рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом – це рівняння виду

, (1.2.1)

де – кутовий коефіцієнт, який визначається як , де – кут між прямою і додатним напрямом осі , – величина відрізка, що відсікається прямою на осі .

Рівняння прямої, що проходить через дану точку в заданому напрямі (який визначається кутовим коефіцієнтом ) має вигляд

. (1.2.2)

Рівняння прямої, що проходить через дві точки і :

. (1.2.3)

Параметричне рівняннями прямої:

(1.2.4)

де – параметр, що змінюється в межах . При одержуємо координати точки , а при – координати точки .

Параметричне рівняння відрізка має вигляд (1.2.4), де .

Рівняння прямої у відрізках:

, (1.2.5)

де – величина відрізка, що відсікається прямою від осі , а – від осі .

Загальне рівняння прямої:

, (1.2.6)

де і – числа, які одночасно не дорівнюють нулю.

○ Приклад 1.2.1. Знайти рівняння прямої, що проходить через дві точки і . Визначити її кутовий коефіцієнт.

Розв'язання. Підставимо координати точок в рівняння (1.2.3):

.

Знайдемо кутовий коефіцієнт цього рівняння . ●

Кут між прямими і , визначається за формулою

, (1.2.7)

де – кут, на який потрібно повернути першу пряму проти годинникової стрілки, щоб вона збіглася з другою прямою.

Умова паралельності прямих:

. (1.2.8)

Умову перпендикулярності прямих:

. (1.2.9)

Якщо прямі задати у загальному вигляді і , то:

умова паралельності прямих заданих в загальному вигляді

або . (1.2.10)

умова перпендикулярності прямих заданих в загальному вигляді

або . (1.2.11)

Відстань від точки до прямої .

, (1.2.12)

де .

○ Приклад 1.2.2. Відомі координати вершин трикутника : , , . Знайти: а) рівняння прямої, що проходить через висоту, опущену з вершини ; б) рівняння прямої, що проходить через точку паралельно стороні ; в) знайти довжини висот трикутника, опущених з вершин і .

Розв'язання. а) Висота, опущена з вершини , перпендикулярна стороні трикутника. Знайдемо рівняння прямої, що проходить через точки і : .

Висота перпендикулярна цій прямій, а значить кутовий коефіцієнт висоти . За формулою (1.2.2) запишемо рівняння висоти. Оскільки пряма проходить через точку , то .

б) Побудуємо рівняння прямої, що проходить через точки і : .

Оскільки пряма, що проходить через точку , паралельна прямій , то . За формулою (1.2.2) запишемо рівняння прямої з кутовим коефіцієнтом , яка проходить через точку :

.

в) Знайти довжину висоти, опущеної з вершини на сторону трикутника – це значить знайти відстань від точки до прямої .

Так як координати точки , а пряма описується рівнянням , то за формулою (1.2.12) отримаємо .

Аналогічно, . ●

○ Приклад 1.2.3. Знайти кут між прямими і .

Розв'язання. Перетворимо рівняння: і .

Так як , то ці прямі перпендикулярні, а значить . ●