1.1.2 Скалярний, векторний, змішаний добутки векторів, їх властивості та вираз через координати

Радіус-вектором точки називається вектор , початок якого співпадає з початком координат, а кінець знаходиться в точці (рис. 1.1.2).

Декартовими прямокутними координатами вектора називаються його проекції на координатні осі , , : ; ; .

Одиничні вектори координатних осей (рис. 1.1.2) - взаємно перпендикулярні ( ) і їх довжини дорівнюють одиниці ( ), їх називають ортами. В координатній формі їх можна записати у вигляді :

; ; .

Рис. 1.1.2 - Одиничні вектори декартових прямокутних координатних осей

Вектор можна виразити через вектори за правилом паралелепіпеда, як показано на рис. 1.1.2:

. (1.1.7)

Довжину вектора можна виразити через його координати за формулою

. (1.1.8)

Координати довільного вектора :

, (1.1.9)

Довжину вектора можна знайти за формулою

. (1.1.10)

Основні лінійні операції над векторами.

1. Якщо вектор помножити на число , то отримаємо вектор з координатами .

Таким чином, якщо вектори і колінеарні, то їх координати зв'язані співвідношеннями

. (1.1.11)

2. Якщо додати вектор до , то отримаємо вектор з координатами .

3. Якщо від вектора відняти вектор , то отримаємо вектор з координатами .

○ Приклад 1.1.4. В трикутнику з вершинами , і знайти: а) довжини сторін трикутника; б) використовуючи координатне представлення векторів , і , перевірити правильність співвідношень: і .

Розв'язання. а) Знайдемо координати векторів , і за формулою (1.1.9):

; ; .

За формулою (1.1.10) знайдемо довжини цих векторів:

; ; .

Справедлива нерівність : .

б) За правилом додавання векторів:

.

За правилом віднімання векторів:

.

Таким чином, обидва співвідношення (правила додавання і віднімання векторів) вірні. ●

○Приклад 1.1.5. Вектор виходить з точки . Знайти координати точки , якщо відомо, що вектор паралельний вектору .

Розв'язання. Так як , то за умовою колінеарності векторів (1.1.11) отримаємо

Таким чином, координати точки . ●

Скалярним добутком двох векторів і називається число, яке дорівнює добутку довжин цих векторів на косинус кута між ними. Скалярний добуток двох векторів і позначається як і згідно означення

, (1.1.12)

де – кут між векторами і .

Скалярний добуток двох векторів і , заданих у координатній формі, дорівнює сумі добутків відповідних координат векторів

. (1.1.13)

Косинус кута між векторами і визначається за формулою

. (1.1.14)

Необхідна і достатня умова перпендикулярності двох векторів і :

. (1.1.15)

○ Приклад 1.1.6. Знайти кути трикутника з вершинами, , і .

Розв'язання. Знайдемо координати векторів і , що виходять з вершини : і , тоді ; ; . За формулою (1.1.15) знайдемо і .

Відповідно: і . ●

○ Приклад 1.1.7. Знайти параметр , при якому вектори і перпендикулярні.

Розв'язання. За умовою вектори перпендикулярні, тому з формули (1.1.15) отримаємо: . ●

Векторним добутком вектора на вектор називається вектор , що позначається як і задовольняє умовам:

1) , де – кут між векторами і ;

2) вектор перпендикулярний векторам і ;

3) вектори , і утворюють праву трійку векторів (рис. 1.1.3).

Векторний добуток двох векторів і , які задані в координатній формі, обчислюється за формулою

. (1.1.16)

Рис. 1.1.3 - Геометричний зміст векторного добутку векторів

○ Приклад 1.1.8. Знайти векторний добуток векторів: і .

Розв'язання. За формулою (1.1.17):

. ●

○ Приклад 1.1.9. Знайти площу трикутника з вершинами , і .

Розв'язання. Розглянемо вектори і , що мають спільну вершину : і . Тоді площу трикутника можна знайти за формулою . Знайдемо

,

. Тоді площа трикутника . ●

Якщо вектор помножити векторно на та векторний добуток помножити скалярно на , то в результаті отримаємо число, яке називається змішаним добутком трьох векторів , і . Змішаний добуток трьох векторів , і , які задані в координатній формі, обчислюється за формулою

. (1.1.17)

Умова компланарності векторів , і : .

Об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , і : .

○ Приклад 1.1.10. Показати, що вектори , і компланарні.

Розв'язання. Знайдемо за формулою (1.1.17) змішаний добуток

.

Оскільки , то вектори , і – компланарні. ●

○ Приклад 1.1.11. Знайти об'єм трикутної піраміди з вершинами , , і .

Розв'язання. Розглянемо вектори , і , що виходять із спільної вершини : , і . Тоді їх змішаний добуток

.

Об'єм паралелепіпеда, побудованого на векторах , , як на сторонах, можна визначити як: . Тоді об'єм піраміди . ●

Література: [1, с. 9 ‑ 42], [2, с. 9 – 35, 63-68], [3, с. 9 – 27, 79 ‑ 121], [4], [5].