3.1.2 Ряди з чергуванням знаків членів. Ознака Лейбніца.

Знакопереміжним рядом називається ряд, у якого члени поперемінно то додатні, то від’ємні, тобто

. (3.1.7)

Ознака Лейбніца. Якщо члени знакопереміжного ряду спадають за абсолютною величиною і границя його загального члена при дорівнює нулю, тобто , тоді ряд збігається, а його сума не перевершує першого члена: .

Зауваження. Умова в ознаці Лейбніца може виконуватися не обов'язково з перших членів ряду.

○ Приклад 3.1.4. Дослідити на збіжність знакопереміжний ряд .

Розв’язання. Оскільки: 1) члени ряду спадають за абсолютною величиною , в загальному вигляді

і 2) , тоді знакопочережний ряд збігається за ознакою Лейбніця. ●

3.2 Функціональні ряди

3.2.1 Степеневі ряди. Знаходження області збіжності рядів

Функціональний ряд називається збіжним в деякій точці , якщо збігається відповідний числовий ряд .

Множина усіх точок збіжності функціонального ряду називається областю його збіжності.

Степеневим рядом називається функціональний ряд виду

, (3.2.1)

де – дійсні числа, які є коефіцієнтами ряду. Степеневим рядом називається також ряд

. (3.2.2)

Теорема Абеля:

1. Якщо степеневий ряд збігається при деякому значенні , тоді він збігається абсолютно при усіх значеннях , для яких ;

2. Якщо степеневий ряд розбігається при деякому значенні , тоді він розбігається при усіх значеннях , для яких .

Радіусом збіжності степеневого ряду називається число таке, що при ряд збігається, а при розбігається. Радіус збіжності степеневого ряду визначається формулою

, (3.2.3)

якщо ця границя існує.

Областю збіжності степеневого ряду називається інтервал , де – радіус збіжності. На границях інтервалу, при і , ряд може як сходитися, так і розходитися.

Зауваження 1. У деяких рядів інтервал збіжності вироджується в точку ( ), у інших охоплює усю вісь ( ).

Зауваження 2. Якщо досліджується ряд (3.2.2), тоді інтервал збіжності визначається із співвідношення або .

Зауваження 3. При дослідженні збіжності ряду (3.2.1) на кінцях інтервалу при не має сенсу застосовувати ознаку д′Аламбера, оскільки в цьому випадку завжди виходитиме Рекомендується застосовувати інші ознаки (наприклад, ознаки порівняння).

○ Приклад 3.2.1. Знайти область збіжності степеневого ряду:

а) ; б) ; в) .

Розв’язання. а) Оскільки і , тоді за формулою (3.2.3) : . Таким чином, область збіжності степеневого ряду ;

б) Оскільки і , тоді .

Таким чином, область збіжності ряду ;

в) .

Інтервал збіжності ряду .

Дослідимо ряд на границях інтервалу збіжності:

при отримаємо ряд . Цей ряд збігається за ознакою Лейбніця;

при отримаємо ряд . Збіжність цього ряду можна довести за узагальненою ознакою порівняння.

Розглянемо узагальнений гармонійний ряд .

Оскільки і , і , тоді ряд збігається, оскільки збігається еталонний ряд порівняння.

Таким чином, область збіжності ряду . ●