2.2 Диференціальні рівняння

2.2.1 Основні поняття. Диференціальні рівняння 1–го порядку: з відокремлюваними змінними, однорідні, лінійні

Диференціальним рівнянням називається рівняння відносно невідомої функції і її похідних різних порядків. Порядком диференціального рівняння називається порядок старшої похідної, що входить в це рівняння.

Звичайне диференціальне рівняння –го порядку в загальному вигляді можна записати так:

, (2.2.1)

де – незалежна змінна; – шукана функція змінної ; – її похідні.

Загальним розв'язком диференціального рівняння –го порядку (2.2.1) називається функція

, (2.2.2)

що має наступні властивості: 1) при будь–яких значеннях довільних постійних вона обертає рівняння (2.2.1) в тотожність; 2) значення постійних можна підібрати так, щоб вони задовольняли початковим умовам.

Частинним розв'язком диференціального рівняння –го порядку (2.2.1) називається рішення, що виходить із загального рішення (2.2.2) при фіксованих значеннях постійних , тобто функція

.

Загальним інтегралом диференціального рівняння –го порядку називається співвідношення виду , що неявно визначає загальне рішення цього рівняння.

Диференціальне рівняння першого порядку – це рівняння виду :

. (2.2.3)

Якщо це рівняння розв'язне відносно , тоді

або . (2.2.4)

Рівняння (2.2.4) є окремим випадком рівняння

. (2.2.5)

Диференціальне рівняння першого порядку (2.2.5) називається рівнянням із змінними, що відокремлюються, якщо функції і , де , – функції тільки , а , – функції тільки . Відокремливши (2.2.5) на і , отримаємо

. (2.2.6)

Рівняння (2.2.6) називається диференціальним рівнянням з відокремленими змінними: при знаходиться функція тільки від , при – тільки від . Узявши невизначені інтеграли від обох частин рівняння, отримаємо загальне розв'язок (чи загальний інтеграл). Інтеграли в (2.2.6) можуть виявитися такими, що не беруться, але рівняння вважається розв'язаним; говорять, що розв'язок знайдене в "квадратурі".

Зауваження. Можуть існувати особливі рішення рівняння (2.2.5), коли .

○ Приклад 2.2.1. Знайти розв'язок диференціального рівняння :

а) , що задовольняє початковій умові ;

б) .

Розв'язання. а)

– загальний розв'язок диференціального рівняння.

З початкових умов знайдемо: . Тоді частинне рішення .

б)

загальне рішення (інтеграл) рівняння. – особливий розв'язок рівняння. ●

Функція називається однорідною – го виміру, якщо при будь–кому виконується тотожність .

Наприклад, – однорідна функція виміру , – виміру і так далі.

Диференціальне рівняння першого порядку (2.2.5) називається однорідним, якщо функції і – однорідні функції одного і того ж виміру . Його можна розв'язати, якщо зробити заміну: і або . Після перетворень отримаємо рівняння із змінними ( і ), що відокремлюються. Загальний розв'язок (інтеграл) якого має вигляд: .

○ Приклад 2.2.2. Розв’язати диференціальне рівняння .

Розв'язання. Це однорідне диференціальне рівняння першого порядку, тому зробимо підстановку і :

.

Оскільки , тоді загальний розв'язок (інтеграл) має вигляд . ●

Лінійним диференціальним рівнянням першого порядку називається рівняння виду

, (2.2.7)

де , – задані функції, неперервні для усіх .

Розв'язок рівняння (2.2.7) шукатимемо у вигляді добутку двох функцій і , тобто . Тоді

Функцію можна вибрати довільно так, щоб . Це диференціальне рівняння із змінними і , що відокремлюються. Його розв'язок .

Функцію знайдемо з рівняння . Це рівняння із змінними і , що відокремлюються. Його розв'язок .

Загальний розв'язок диференціального рівняння (2.2.7):

. (2.2.8)

○ Приклад 2.2.3. Знайти розв'язок диференціального рівняння , що задовольняє початковим умовам .

Розв'язання. Зробимо підстановку і , тоді рівняння розпадеться на два диференціальні рівняння із змінними, що відокремлюються : і .

Розв’яжемо перше рівняння

.

Розв’яжемо друге рівняння

Таким чином, загальний розв'язок диференціального рівняння

.

З початкових умов знайдемо: . Тоді частинний розв'язок . ●

Зауваження. Диференціальне рівняння може бути одночасно або лінійним і однорідним або зі змінними, що розділяються і однорідним (або в будь–якій іншій комбінації). Для вирішення диференціального рівняння потрібно вибирати найпростіший варіант з двох. Таким, наприклад, являється рівняння із змінними, що розділяються. Іноді рівняння одного класу може стати диференціальним рівнянням іншого класу за допомогою заміни змінних.