2.1.2 Властивості визначеного інтеграла. Заміна змінного та інтегрування частинами

Обчислення визначених інтегралів для неперервної функції полягає в наступному: спочатку знаходять невизначений інтеграл (або первісну ), а потім користуються формулою Ньютона-Лейбніца:

. (2.1.7)

Приведемо без доведення основні властивості визначеного інтеграла:

1. Якщо , то .

2. , де - інтегрована на відрізку функція, ( ).

3. .

4. Якщо функція інтегрується на найбільшому з відрізків , , , то вона інтегрована на двох інших відрізках, причому

,

де .

5. Якщо функція інтегрована на відрізку , то функція , де – постійне число, також інтегрована, причому

.

6. Якщо функції , , …, інтегровані на відрізку , то їх алгебраїчна сума також інтегрована, причому

.

○ Приклад 2.1.5. Обчислити інтеграли: а) ; б) .

Розв'язання.

а) ;

б) . ●

Методи обчислення визначених інтегралів такі ж, як і при знаходженні невизначених інтегралів.

Метод заміни змінної. Якщо виконані умови: 1. функція неперервна на відрізку ; 2. відрізок є множиною значень функції , що визначена на відрізку і має на ньому неперервну похідну; 3. , , то справедлива формула

. (2.1.8)

○ Приклад 2.1.6. Обчислити інтеграли:

а) ; б) .

Розв'язання. а) ;

б) . ●

Метод інтегрування частинами. Якщо функції , мають неперервні похідні на відрізку , то справедлива формула

. (2.1.9)

○ Приклад 2.1.7. Обчислити інтеграли: а) ; б) .

Розв'язання. а)

;

б)

. ●

2.1.3 Невласні інтеграли

Розрізняють невласні інтеграли I– го і II– го роду.

Невласними інтегралами I– го роду називаються інтеграли з нескінченним проміжком інтегрування (або , або ), які визначаються формулами:

; (2.1.10)

; (2.1.11)

, (2.1.12)

Невласні інтеграли можуть мати як скінчене, так і нескінченне значення. Якщо границі не існують або дорівнюють нескінченності, то невласні інтеграли називаються тими, що розбігаються.

○ Приклад 2.1.8. Дослідити на збіжність інтеграли:

а) ; б) .

Розв'язання.

а)

. Інтеграл збігається і його значення дорівнює 1;

б)

.

Оскільки границя не існує, то інтеграл розбігається. ●

Невласним інтегралом II – го роду від функції на за умови, що має розрив другого роду при називається інтеграл, що визначається за формулою

, (2.1.13)

де , .

Інтеграл (2.1.13) збігається, якщо границі в (2.1.13) скінчені і існують. В протилежному випадку інтеграл є таким, що розбігається.

Якщо підінтегральна функція має розрив II – го роду в точках або , то відповідні інтеграли II – го роду обчислюються за формулами:

, (2.1.14)

. (2.1.15)

○ Приклад 2.1.9. Дослідити на збіжність інтеграли: а) ; б) .

Розв'язання.

а) .

Інтеграл збігається;

б)

.

Оскільки границя не існує, то інтеграл розбігається. ●

Література: [1, с. 173 – 195, 198-203], [2, с. 251 ‑ 312], [4, с. 284 – 341], [5].