Лекция 2. П.2. Декартово произведение. Мощность множества.

2.1. Декартово произведение множеств.

Упорядоченная пара интуитивно определяется как совокупность, состоящая из двух элементов x и y, расположенных в определенном порядке. Две пары и считаются равными тогда и только тогда, когда x=u и y=v.

Определение 2.1. Пусть A и B – два множества. Прямым (декартовым) произведением двух множеств A и B называется множество всех упорядоченных пар, в котором первый элемент каждой пары принадлежит A, а второй принадлежит B:

.

Пример .. Пусть и . Тогда

.

.



Пример .. На координатной плоскости построить следующее множество:

(-1; 3×1; 3)

Р ешение. Первое множество помещаем на оси OX, второе на оси OY. Множество всех пар, т.е. декартово произведение, изображается точками заштрихованного прямоугольника, но без левой и нижней стороны.



Как вы знаете, точка на плоскости может быть задана упорядоченной парой координат, то есть двумя точками на координатных осях. Поэтому координатную плоскость можно задать в виде . Метод координат ввел в употребление Рене Декарт (1596-1650), отсюда и название «декартово произведение».

В частности, если A пусто или B пусто, то, по определению, AB пусто.

Понятие прямого произведения допускает обобщение.

Прямое произведение множеств A₁, A₂, …, A_n – это множество наборов (кортежей):

.

Множества A_i не обязательно различны.

Степенью множества A называется его прямое произведение самого на себя. Обозначение:

.

Соответственно, и вообще .

Пример .. Пусть B=0, 1. Описать множество Bⁿ.

Решение. Множество Bⁿ состоит из последовательностей нулей и единиц длины n. Они называются строкой бит или битовой строкой длины n.



2.2. Мощность множества.

Альберт Эйнштейн как-то говорил: «Не все, что можно сосчитать, сосчитано, и не все, что сосчитано, можно сосчитать». Хотя это высказывание не очень воодушевляет, попытаемся заняться подсчетами.

Говорят, что между множествами A и B установлено взаимно однозначное соответствие, если каждому элементу множества A соответствует один и только один элемент множества B и каждому элементу множества B соответствует некоторый элемент множества A. В этом случае говорят также, что множества A и B изоморфны и используют обозначение AB.

Определение 2.2. Два множества A и B называются эквивалентными, или равномощными, если между этими множествами может быть установлено взаимно однозначное соответствие. В этом случае пишут: AB, или A=B, и говорят, что множества A и B имеют равные мощности.

Пример .. 1) Множество десятичных цифр равномощно множеству пальцев на руках человека.

2) Множество четных натуральных чисел (2N) равномощно множеству всех натуральных чисел (N).



Определение 2.3. Множество A называется конечным, если оно эквивалентно J_n при некотором n, где J_n=1, 2, …, n – множество n первых натуральных чисел.

Определение 2.4. Мощностью конечного множества A, которое содержит k элементов, называется число его элементов. Она обозначается A=k. Пустое множество считается конечным с числом элементов равным нулю, т.е. =0.

Таким образом, если множество A конечно, т.е. A=k, то элементы A всегда можно перенумеровать, то есть поставить в соответствие элементам номера из отрезка натурального ряда 1..k с помощью некоторой процедуры. Наличие такое процедуры подразумевается, когда употребляется запись A=a₁, a₂, …, a_k.

Пример .. В компьютере все множества реальных объектов конечны: множество адресуемых ячеек памяти, множество исполнимых программ, множество тактов работы процессора.



Множества, которые не являются конечными, называются бесконечными. Если некоторое множество A равномощно множеству N, т.е. AN, то множество A называется счетным (в зарубежной литературе: множество называются счетным, если оно конечно или счетно бесконечно). Счетное множество A – это такое множество, все элементы которого могут быть занумерованы в бесконечную последовательность a₁, a₂, …, a_n, …, так, чтобы при этом каждый элемент получил лишь один номер n и каждое натуральное число n было бы номером лишь одного элемента множества A. Мощность счетного множества принято обозначать через ( – первая буква древнееврейского алфавита, называемая «алеф», символ читается: «алеф-нуль»). В частности N= .

Пример .. Множество Z – множество целых чисел счетно.

Решение. Рассмотрим множество целых чисел Z:

…, n, …, 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3, …, n, … .

На первый взгляд, кажется, что это множество невозможно перенумеровать. Однако эту нумерацию можно осуществить, применив следующую хитрость: двигаясь не в одном направлении, а все время менять его. Иными словами, будем нумеровать так: числу 0 дадим номер 1, числу 1 – номер 2, числу 1 – номер 3, числу 2 – номер 4, числу 2 – номер 5, и т.д. Таким образом, получаем взаимно однозначное соответствие между множеством Z и N. А значит, множество Z счетно.



Множество A называется несчетным, если его мощность больше мощности множества N. В таком случае множество A называется континуальным или континуумом. Мощность континуума обозначается . Следующую теорему примем без доказательства.

Теорема 2.1. Множество всех действительных чисел имеет мощность континуума, т.е. R=C.