Объем прямоугольного параллелепипеда. Единицы объема

1. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда, длина которого 45 см, ширина 30 см, высота 25 см. Сколько раз придется наполнить водой трехлитровую банку, чтобы уровень воды в аквариуме был равен 20 см?

Решение. Надо налить 453020 = 27000 (см³) воды. Это 27 дм³, или 27 л. Трехлитровую банку придется наполнить водой 27:3 = 9 раз.

2. Как изменится объем прямоугольного параллелепипеда, если:

а) его длину увеличить в 2 раза;

б) его длину увеличить в 2 раза, а ширину — в 3 раза.

Решение. Пусть a см — длина, b см — ширина, c см — высота — прямоуголь­ного параллелепипеда, тогда его объем равен abc см³.

а) Если длину прямоугольного параллелепипеда увеличить в 2 раза, то его объем будет равен 2abc см³ = 2abc см³ — он в 2 раза больше объема данного прямоугольного параллелепипеда.

б) Если длину увеличить в 2 раза, а ширину — в 3 раза, то объем нового прямоугольного параллелепипеда будет равен 2a3bc см³ = 6abc см³ — он в 6 раз больше объема данного прямоугольного параллелепипеда.

Ответ. а) В 2 раза; б) в 6 раз.

Единицы массы . Единицы времени

1. Данные величины запишите с точностью до 1 кг:

а) с недостатком; б) с избытком; в) с округлением.

1) 5 кг 768 г; 2) 9 кг 326 г;

3) 4 ц 36 кг 125 г; 4) 5 т 7 ц.

Решение.

1) а) 5 кг 768 г 5 кг с недостатком;

б) 5 кг 768 г 6 кг с избытком;

в) 5 кг 768 г 6 кг с округлением;

2)  а) 9 кг 326 г 9 кг с недостатком;

б) 9 кг 326 г 10 кг с избытком;

в) 9 кг 326 г 9 кг с округлением;

3)  а) 4 ц 36 кг 125 г 436 кг с недостатком;

б) 4 ц 36 кг 125 г 437 кг с избытком;

в) 4 ц 36 кг 125 г 436 кг с округлением;

4) а) 5 т 7 ц 5700 кг с недостатком;

б) 5 т 7 ц 5700 кг с избытком;

в) 5 т 7 ц 5700 кг с округлением.

2. Увеличьте:

а) 3 ч 15 мин в 3 раза; б) 1 ч 20 мин в 4 раза.

Решение.

а) 3 ч 15 мин  3 = 9 ч 45 мин;

б) 1 ч 20 мин  4 = 4 ч 80 мин = 5 ч 20 мин.

Задачи на движение

1. Определите, какая скорость получится следующим действием:

а) v_с + v_т.; б) v_с – v_т.; в) v_{пр. т.} + v_т.;

г) v_{пр. т.} + 2v_т.; д) v_{по т.} – v_т.; е) v_{по т.} – v_{пр. т.}

Решение. а) v_с + v_т. = v_{по т.}; б) v_с – v_т. = v_{пр. т.}; в) v_{пр. т.} + v_т. = v_с;

г) v_{пр. т.} + 2v_т. = v_{по т}; д) v_{по т.} – v_т. = v_с; е) v_{по т.} – v_{пр. т.} = 2v_с.

2. По течению моторная лодка проплыла 48 км за 3 ч, а против течения — за 4 ч. Найдите скорость течения.

Решение.

1) 48:3 = 16 (км/ч) — скорость лодки по течению реки;

2) 48:4 = 12 (км/ч) — скорость лодки против течения реки;

3) 16 – 12 = 4 (км/ч) — удвоенная скорость течения;

4) 4:2 = 2 (км/ч) — скорость течения.

Ответ. 2 км/ч.

3. 15 июля 1923 года из Москвы в Нижний Новгород вылетел аэроплан «Ультиматум». Так была открыта первая трасса Аэрофлота длиной 420 км. Аэроплан шел на высоте 250 м и преодолел все расстояние за 3 ч 30 мин. Найдите скорость аэроплана. Какие условия в задаче являются лишними?

Решение. Предварительно выразим время в минутах: 3 ч 30 мин = 210 мин. Тогда 420:210 = 2 (км/мин) — скорость аэроплана. Запишем ее в других единицах: 260 = 120 (км/ч).

Лишние условия в задаче (от которых не зависит ответ) — высота полета и дата полета.

4. Расстояние между двумя городами 900 км. Два поезда вышли из этих городов навстречу друг другу со скоростями 60 км/ч и 80 км/ч. На каком расстоянии друг от друга были поезда за 1 ч до встречи? Есть ли в задаче лишнее условие?

5. Расстояние от села до города 45 км. Из села в город вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Через час из города в село выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Кто из них в момент встречи будет ближе к селу?

Решение. №№ 4-5 - это задачи-шутки. Иногда, прочитав условие задачи учащиеся сразу начинают вычислять. Эти задачи показывают, что довольно часто бывает полезно сначала поразмышлять над условиями задачи.

4. 1) 60 + 80 = 140 (км/мин) — скорость сближения;

2) 1401 = 140 (км) — расстояние, на котором были поезда друг от друга за 1 ч до встречи.

Лишнее условие в задаче — 900 км.

5. В момент встречи они будут на одинаковом расстоянии от села.

6. Старинная задача. Из Москвы в Тверь вышли одновременно 2 поезда. Первый проходил в час 39 верст и прибыл в Тверь двумя часами раньше второго, который проходил в час 26 верст. Сколько верст от Москвы до Твери?

Решение. 1) 39 – 26 = 13 (верст) — на столько верст отставал второй поезд от первого за каждый час;

2) 262 = 52 (версты) — на столько верст отстал второй поезд за все время движения;

3) 52:13 = 4 (ч) — время движения первого поезда;

4) 394 = 156 (верст) — от Москвы до Твери.

7. Пассажир метро, стоящий на ступеньке эскалатора, поднимается вверх за 3 мин. Если он идет вверх, то поднимается за 2 мин. С какой скоростью идет пассажир метро, если длина эскалатора 150 м?

Решение. 1) 150:3 = 50 (м/мин) — скорость эскалатора;

2) 150:2 = 75 (м/мин) — скорость пассажира, идущего по движущемуся вверх эскалатору;

3) 75 – 50 = 25 (м/мин) — скорость пассажира, идущего по стоящему эскалатору.

Ответ. 25 м/мин.

8. Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 15 мин папа заметил пропажу. Как далеко друг от друга в этот момент находились лодка и шляпа, если собственная скорость лодки 8 км/ч, а скорость течения 3 км/ч? Нет ли в задаче лишних данных?

Решение. Для ответа на вопрос «Как далеко… ?» выражать 8 км/ч в метрах в секунду не следует, так как 8000 «плохо делится» на 60. Можно рассуждать так. За 60 мин они удалились бы на 8 км, а за время в 4 раза меньшее (60:15 = 4) — на расстояние, в 4 раза меньшее — на 8:4 = 2 (км). Лишнее условие — скорость течения.

9. Папа и сын плывут на лодке против течения. В какой-то момент сын уронил за борт папину шляпу. Только через 15 мин папа заметил пропажу. Через сколько минут они догонят шляпу, если сразу повернут лодку и поплывут по течению? (Собственная скорость лодки постоянна.)

Решение. Так как скорость удаления лодки и шляпы равна

10. (v_{собств.} – v_теч.) + v_теч. = v_{собств.},

а скорость сближения лодки и шляпы равна

11. (v_{собств.} + v_теч.) – v_теч. = v_{собств.},

то удаление и сближение лодки и шляпы происходило на одно и то же расстояние и с одной и той же скоростью. Поэтому они догонят шляпу за то же время, за которое они удалялись от нее, т. е. за 15 мин.

12. Два поезда движутся навстречу друг другу по параллельным путям — один со скоростью 100 км/ч, другой со скоростью 80 км/ч. Пассажир, сидящий во втором поезде, заметил, что первый поезд шел мимо него 12 с. Какова длина первого поезда?

Решение. Поезда сближались со скоростью 100 + 80 = 180 (км/ч), или 180000:60 = 3000 (м/мин). Это означает, что за 1 мин (60 с) мимо пассажира мог бы пройти поезд длиной 3000 м. Так как 12 с в 5 раз меньше, чем 60 с, то длина поезда равна 3000:5 = 600 (м).

13. Железнодорожный состав длиной 1 км проходит мимо километрового столба за 1 мин, а через туннель при той же скорости за 3 мин. Какова длина туннеля?

Решение. Чтобы пройти мимо столба, состав должен пройти путь, равный длине состава. На это уходит 1 мин, значит, за 1 мин поезд проходит 1 км. Чтобы пройти туннель, состав должен пройти путь, равный сумме длин туннеля и состава. За 3 мин поезд проходит 3 км, значит, длина туннеля равна 3 – 1 = 2 (км).

Ответ. 2 км.

14. Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из А в В выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Велосипедист доехал до В, повернул назад и поехал с той же скоростью навстречу пешеходу. Через сколько часов после начала движения они встретятся, если расстояние между А и В 30 км?

Решение. Приведем «длинное» решение задачи без пояснений:

1) 30:10 = 3 (ч); 2) 5·3 = 15 (км);

3) 30 – 15 = 15 (км); 4) 10 + 5 = 15 (км/ч);

5) 15:15 = 1 (ч); 6) 3 + 1 = 4 (ч).

Его можно упростить, заметив, что в задаче речь идет по сути дела о движении навстречу друг другу с удвоенным расстоянием. Тот же ответ получится, если переформулировать условие задачи так:

Расстояние между пунктами А и В равно 60 км. Из пункта А в пункт В вышел пешеход со скоростью 5 км/ч. Одновременно с ним из В в А выехал велосипедист со скоростью 10 км/ч. Через сколько часов после начала движения они встретятся?

Это редкий пример удачной переформулировки задачи, приводящей к упро­щению ее решения:

1) 302 = 60 (км); 2) 10 + 5 = 15 (км/ч); 3) 60:15 = 4 (ч).