Дифракция волн на трехмерных решетках

Из опытов по дифракции рентгеновских лучей на кристаллах следовало, что кристаллы можно рассматривать как пространственные решетки с периодом того же порядка что и длина волны рентгеновского излучения и для анализа экспериментальных данных использовать общепринятую теорию дифракции. В качестве примера анализа экспериментальных результатов по дифракции на трёхмерных решётках рассмотрим рассеяние рентгеновских лучей на кристаллах.

Пусть на одномерную цепочку атомов падает пучок параллельных рентгеновских лучей. Попадая в периодически изменяющееся поле электромагнитной волны

E(t)=E_m cos(t-kx),

электроны атомов начинают совершать вынужденные колебания, так как на них действует периодически меняющаяся вынуждающая сила

.

Под действием этой силы электроны движутся с переменным ускорением

и вследствие этого становятся источниками переменного электромагнитного поля. В соответствии с законами электродинамики, это приводит к вынужденному излучению электромагнитных волн. Таким образом, каждый атом, попавший в поле рентгеновского излучения, сам становится источником вторичных волн, частота которых совпадает с частотой возбуждающего излучения. Для простоты будем считать вторичные волны сферическими. Это предположение, конечно, не позволит описать результаты эксперимента во всех деталях. Однако наиболее яркие черты явления охватываются достаточно верно.

Приходя в точку наблюдения, вторичные волны интерферируют. Длина пути от источника излучения до атома цепочки и от атома до точки наблюдения зависит от положения атома. Поэтому разность хода  для интерферирующих лучей будет зависеть как от угла между падающим пучком и цепочкой атомов ( ), так и от угла между цепочкой атомов и направлением на точку наблюдения ( ) ( рис.7). Как видно из рисунка

,

где a - модуль базисного вектора.

Рис.7. Дифракция рентгеновских лучей на цепочке атомов. Здесь i –плоскость излучения, j –плоскость наблюдения.

Известно, что максимум интерференционной картины будет наблюдаться, когда разность хода между лучами составит целое число длин волн:

, где n - любое целое число.

Если рассмотреть теперь трехмерную решетку атомов, то для неё должны одновременно выполняться условия максимума дифракционной картины в направлении каждого из базисных векторов:

,

, (1)

.

Будем характеризовать направление падающего пучка единичным вектором , а направление наблюдения - единичным вектором . Поскольку =1 и =1, то для углов , , , , , , характеризующих направление падающего луча и направление, в котором проводится наблюдение, справедливы соотношения (рис.8):

, (2).

Т

Рис.8. Направление луча удобно задавать направляющими косинусами.

огда система уравнений (1) оказывается разрешимой относительно углов , , только при определённых значениях длины волны . Условия (1) наблюдения максимума дифракционной картины называют условиями Лауэ.

Разделим каждое из трех уравнений системы (1) на длину соответствующего базисного вектора, возведем в квадрат и сложим. С учетом уравнений (2), получим:

(3).

Косинус угла между двумя прямыми может быть записан через косинусы углов между прямыми и осями координат. Обозначим угол между падающим пучком и направлением наблюдения через и перемножим скалярно единичные векторы, задающие направления пучков, выраженные через базис:

.

С учётом того, что и ,

получим:

.

Тогда уравнение (3) можно переписать в виде:

или

. (4)

Для кубической решетки, когда , равенство упростится:

.

Р усский ученый Ю.В.Вульф и английские физики У.Г. и У.Л.Брэгги независимо друг от друга показали, что расчёт дифракционной картины от кристаллической решётки можно осуществить и более простым способом. Они предложили считать, что интерферируют лучи, отраженные от параллельных плоскостей, проведенных через узлы кристаллической решётки. В этом случае интерференционная картина рассчитывается подобно тому, как это делается для тонких плёнок. Разность хода между лучами, пришедшими в точку наблюдения от соседних плоскостей при наблюдении под тем же углом к плоскостям, что и угол между плоскостями и падающим пучком, может быть записана (рис.9): .

Рис.9. Дифракция на плоскостях (hkl). Здесь i –плоскость излучения, j –плоскость наблюдения.

Следовательно, максимум дифракционной картины будет наблюдаться под таким углом скольжения (угол Брэгга), который удовлетворяет условиям Вульфа-Брэгга

.

Наблюдения в этом случае также проводятся под углом . Таким образом, угол между направлениями падающего луча и направлением, в котором наблюдается максимум дифракционной картины, будет равен двойному брэгговскому углу.

Расчет по формулам Лауэ дает те же самые направления. Сравнивая условия Вульфа-Брэгга с выведенным из условий Лауэ соотношением (4), можно получить связь межплоскостных расстояний с параметрами решётки a, b, c и индексами плоскостей (hkl):

В случае кубической решётки a=b=c и тогда