2.3. Математические основы информатики

В первых механических предшественниках компьютера числа представлялись в виде линейных перемещений цепных и реечных механизмов, либо в виде угловых перемещений зубчатых и рычажных механизмов. Им были присущи – медленная скорость и большие габариты устройств. Переход от регистрации перемещений к регистрации сигналов позволил снизить их габариты и повысить скорость работы.

В электронных устройствах речь уже идет о регистрации состояний элементов устройства. Состояний два: "включено" и "выключено". Поэтому традиционная десятичная система является неудобной.

Уже в 1666 году возможность представления чисел в двоичной системе предложил Г. Лейбниц. Он пришел к такой системе, занимаясь вопросами концепции единства и борьбы противоположностей и рассматривая мира в виде непрерывного взаимодействия двух начал.

Другим немаловажным основанием современной информатики стала математическая логика, основателем которой стал учёный первой половины XIX века Джордж Буль. Занимаясь исследованиями законов мышления, он применил в логике систему формальных обозначений и правил, близкую к математической. В математической логике результатом формального расчета логического выражения является одно из двух логических значений: истина или ложь. Основные логические операции, лежащие в основе работы всей вычислительной техники и автоматики сегодня: конъюнкция (И/AND), дизъюнкция (ИЛИ/OR), инверсия (НЕ/NOT), исключающее ИЛИ (ХOR). В таб.1. представлены таблицы истинности для указанных логических функций.

Кроме обозначенных функций существуют комбинированные логические функции: И-НЕ (штрих Фишера) и ИЛИ-НЕ (стрелка Пирса). Особенностью этих элементов является возможность выразить все другие логические операции, используя одну из этих функций (И-НЕ или ИЛИ-НЕ).

Таблица 1

Таблицы истинности для логических функций

Конъюнкция			Дизъюнкция			Исключающее ИЛИ			Инверсия
a	b	x	a	b	x	a	b	x	a	x
0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	1
0	1	0	0	1	1	0	1	1	1	0
1	0	0	1	0	1	1	0	1	-	-
1	1	1	1	1	1	1	1	0	-	-

Алгебра логики строится на своих законах. К основным относят следующие:

• закон непротиворечия: ;

• закон исключения третьего: ;

• законы де Моргана: ; ;

• закон двойного отрицания: .

Большое распространение в вычислительной технике получил триггер – элемент, позволяющий запомнить 1 бит данных. Обозначение и диаграмма работы RS-триггера представлена на рис. 2.1. RS-триггер имеет два входа: set и reset. При подаче на вход «S» единицы выход триггера «Q» устанавливается в состояние «1». При сбросе сигнала на «S» в ноль, состояние выхода не меняется, то есть триггер запоминает состояние выхода. Сброс осуществляется подачей «1» на вход «R». При этом на выходе «Q» устанавливается состояние «0». Подача «1» на оба входа одновременно называется запрещённым состоянием триггера. В этом случае на выходе в зависимости от серии логики может быть как «0», так и «1». Для того чтобы избежать возникновения такого состояния используют специальные схемы на входе триггера.

Рис. 2.1. Обозначение и диаграмма работы RS-триггера