Тема № 4 . БАГАТОЕЛЕКТРОННІ АТОМИ.

1. Складанна кутових моментів електронів атома.

Кожен електрон атома має два кутових моменти - орбітальний (визначається квантовим числом ℓ) і спіновий (визначається квантовим числом s). Для багатоелектронного атома постає питання - як складаються кутові моменти всіх електронів атома? Відповідь на питання була отримана за результатами експериментальних досдіджень спектрів атомів в магнітному полі. Було визначено два механізми складання кутових моментів. Один із них, відкритий Расселом і Саундерсом, реалізується в «легких» атомах (що знаходяться на початку таблиці елементів), другий - у «важких» атомах (кінець таблиці елементів). Наявність двох механізмів складання кутових моментів пояснюється конкуренцією між кулонівською і спін-орбітальною взаємодією, яка залежить від кількості електронів атома.

Складаються кутові моменти за правилом паралелограма з урахуванням їх дискретності (квантування).

Розглянемо «легкі» атоми і механізм складання моментів за Рассел- Саундерсом. В таких атомах окремо складаються орбітальні кутові моменти всіх електронів і утворюють повний орбітальний момент атома, який визначається квантовим числом L: . Дискретність орбітальних кутових моментів окремих електронів М_ℓ = обумовлює дискретність повного орбітального кутового момента атома , тому буде декілька числових значень L, які будуть відрізнятися на одиницю (оскільки ℓ змінюється на одиницю). Розглянемо атом з двома електронами, які мають квантові числа ℓ₁ і ℓ₂, тоді L₁ = ℓ₁+ℓ₂, L₂ = ℓ₁+ℓ₂ – 1, L₃ = ℓ₁+ℓ₂ – 2, …L_n = ℓ₁- ℓ₂, якщо ℓ₁> ℓ₂, або L_n = ℓ₂- ℓ₁, якщо ℓ₂> ℓ₁. Щоб знайти всі значення L, необхідно знайти L_max = ℓ₁+ℓ₂ і L_min = ℓ₁- ℓ₂, а потім взяти всі цілі числа між L_max і L_min, які відрізняються на одиницю. Нехай ℓ₁= 3, ℓ₂ = 2, тоді L_max = 5, а L_min = 1. В цьому випадку атом буде мати п‘ять повних орбітальних кутових моментів, які будуть визначатися квантовими числами L = 5,4,3,2,1: М₅ = ħ , М₄ = = , , , .

Окремо складаються спінові кутові моменти електронів M_s і утворюють повний спіновий кутовий момент атома М_S, який визначається квантовим спіновим числом S: M_S =ħ

Правило знаходження квантового числа S таке ж саме як і числа L. Для двох електронів з s₁ = 1/2 i s₂ = 1/2 квантове число спінового момента атома S буде мати наступні значення: S₁ = 1, S₂ = 0, а повний спіновий момент атома М_S1 = і М_S2 = 0.

Далі повний орбітальний момент М _L складається з повним спіновим моментом М_S і утворюють повний кутовий момент атома М_J, який визначається квантовим числом J: M_J = . Квантове число J приймає такі значення: J = L+S, L+S-1 L+S-2, L+S-3,… L- S, якщо L> S, або J = L+S, L+S-1, L+S-2,… S - L, якщо S >L. Всі числові значення J лежать в межах від J_max до J_min, по аналогії находження L i S. Для знайдених вище значень L i S отримаємо наступні значення квантового числа J. Для L = 5 i S = 1 J приймає такі значення:

J₁= 6, J₂= 5, J₃= 4. Для L = 4 і S = 1 J₂= 5, J₃= 4, J₄= 3, для L =3 i S = 1 J₃= 4, J₄= 3, J₅= 2, для L = 2 i S = 1 J₄ = 3, J₅ = 2, J₆ = 1, для L = 1 i S = 1 J₅ = 2, J₆ = 1, J₇ = 0. Серед отриманих значень квантового числа J є значення, які повторяються, вони не дають нових зачень повного момента імпульса атома. Таким чином, атом з двома електронами з квантовими числами ℓ₁= 3, s₁= 1/2 і ℓ₂= 2, s₂= 1/2 має такі повні моменти імпульса:

, , , , . Така кількість повних моментів імпульсів атома обумовлена відповідною кількістю взаємних орієнтацій орбітальних і спінових моментів двох електронів атома.

Розглянемо «важкі» атоми. В таких атомах складаються орбітальний і спіновий моменти окремих електронів і утворюють повний кутовий момент електрона: j₁= ℓ₁+ s_{1 ,} j₂= ℓ₂+ s₂, ….

j_k = ℓ_k+ s_k для к електронів. Повні кутові моменти електронів складуються і утворюють повний кутовий момент атома, який визначається квантовим числом J = ∑j_k. Повний момент атома дорівнює М_J = ħ . Цей механізм складання кутових моментів отримав назву «j-j механізм».

Таким чином, «легкі» атоми характеризуються трьома квантовими чимлами L,S,J, і відповідно трьома повними моментами імпульсів (повним орбітальним, повним спіновим і повним момемтом імпульса втома), а «важкі» - одним квантовим числом J. Важливо відмітити, що для одного й того ж атома обидва механізми складання моментів дають одне й теж максимальне квантове число J, тоб то одну й ту ж величину повного максимального кутового момента М_J. Нехай електрони двохелектронного атома мають такі квантові числа: ℓ₁= 2,ℓ₂= 1, s₁= ½, s₂= ½. Найдемо J_max за двома механізмами складання моментів. L= ℓ₁+ℓ₂ =3. S= ½ + ½ =1. J = 4. j₁= ℓ₁+ s₁= 5/2. j₂= ℓ₂+s₂= 3/2, J = j₁+j₂= 5/2+3/2 = 4. Наявність різних механізмів складання моментів проявляється спектрах випромінювання атомів в магнітному полі, про що йтиметься мова в подальших темах.

№ 2. Розподіл електронів атома по станах.

При вивченні багатоелектронних атомів постає питання розподілу електронів по станах.

Стан електрона в атомі визначаєтья його хвильовою функцією, аналітичний вираз якої

залежить від чотирьох квантових чисел – n, ℓ, m_ℓ, m_s. Електрони відносяться до ферміонів, бо

мають s = ½, а розподіл ферміонів по станах визначається принципом Паулі, згідно якого

в одному стані може знаходитися тільки один ферміон. Якщо атом не піддається

зовнішньому впливу, то він має найменшу енергію.

Таким чином, приходимо до висновку, що розподіл електронів атома по станах

визначається приципом Паулі і мінімумом енергії атома.

Принцип Паулі для атома формулюється так: в атомі не існує двох і більше електронів з одинаковими чотирма квантовими числами n,ℓ, m_ℓ, m_s.

Записувати стан кожного електрона чотирма числами незручно, для атома урану з його