2. Рассмотрим теперь систему

.

Выпишем матрицу этой системы и проделаем все действия, описанные в предыдущем пункте (обнулим столбцы, стоящие под и над главной диагональю). Для простоты рассмотрим случай, когда , базисный минор стоит в верхнем левом углу:

.

Определение 7. Неизвестные называются основными (главными), а неизвестные – свободными. Основные неизвестные выражаются через свободные следующим образом:

.

Полученную систему называют общим решением линейной системы уравнений. Свободные неизвестные могут принимать произвольные значения.

Частное решение получается при подстановке в общее решение произвольных значений свободных неизвестных.

Определение 8. Набор решений системы называется линейно независимым, если ранг матрицы, столбцами которой являются эти решения, совпадает с числом этих решений.

Утверждение. Если ранг матрицы однородной системы равен , то система имеет линейно независимых решений.

Определение 9. Любая система из линейно независимых решений называется фундаментальной системой решений.

Определение 10. Фундаментальная система решений (ФСР) линейной однородной системы уравнений – это базис в пространстве решений линейной однородной системы.

Замечание. Определения 9 и 10 эквивалентны.

Любая однородная система линейных уравнений совместна, так как она имеет нулевое решение , которое называется тривиальным решением.

Замечания.

1. Число базисных решений равно числу свободных неизвестных и равно .

2. На практике в качестве ФСР удобно брать общее решение, в котором единичка “пробегает” все свободные неизвестные (то есть сначала , , затем , , и т.д.):

.

Если числа дробные, в первую строку вместо единицы записывается число , во вторую – , в -тую – .

2. Иногда бывает удобно менять местами столбцы матрицы. При этом нельзя забывать о том, что порядок неизвестных меняется соответственно.

№ 689 (П). Найти общее и частное решения системы уравнений:

.

Р е ш е н и е.

.

Здесь – основные неизвестные, – свободные неизвестные.

Ответ: – общее решение;

– частное решение.

№ 725 (П). Найти общее решение и фундаментальную систему решений для системы уравнений:

.

Р е ш е н и е.

– общее решение.

Для нахождения ФСР составим таблицу .

Векторы , образуют ФСР.

Ответ: – общее решение;

, – ФСР.

№ 691 (П). Исследовать совместность системы

,

пользуясь критерием совместности. Если система совместна, найти общее и одно частное решения системы.

Р е ш е н и е.

– общее решение, – свободные неизвестные.

Найдем частное решение системы. Возьмем , , тогда и мы получили частное решение системы .

Ответ: –- общее решение,

– частное решение системы.

Замечание. Очень часто студенты ранг матрицы и ранг расширенной матрицы считают отдельно, что нерационально, например:

№ 692 (П). Исследовать совместность системы , пользуясь критерием совместности.

Р е ш е н и е.

.

.

Ответ: система несовместна.

Очевидно, что ранг матрицы можно найти, выписав лишь матрицу , так как матрица получается из матрицы добавлением справа столбца свободных членов.