Жорданов базис в частном случае
Рассмотрим частный случай, когда оператор имеет единственное cоб-
ственное
значение
и не имеет простой структуры. В этом
случае матрица
имеет ранг
,
а значит, в пространстве
имеется
линейно независимых собственных векторов
оператора
,
соответствующих числу
.
Рассмотрим подпространство
.
Имеем
.
Значит, в
найдется хотя бы один собственный вектор
оператора
.
Поэтому размерность подпространства
будет меньше размерности подпространства .
Это
очевидно, так как в подпространствах
оператор
всегда имеет собственное значение
,
которому соответствуют собственные
векторы, поэтому под действием оператора
эти собственные векторы обнуляются и,
следовательно, размерности подпространств
уменьшаются с увеличением
.
Если
– ненулевое подпространство, то в нем
найдется хотя бы один собственный вектор
оператора
.
В этом случае построим подпространство
.
Очевидно, что его размерность меньше
размерности
.
Продолжая этот процесс далее, мы получим
ненулевое подпространство
,
такое, что
.
Это означает, что подпространство
содержит только собственные векторы
оператора
,
а значит, оператор
в
имеет простую структуру.
Выберем
в
базис. Этот базис мы можем дополнить
до базиса в
,
затем базис в
можем дополнить до базиса в
и т.д. В итоге получим базис всего
пространства
.
Перейдем к его построению.
Пусть
,
и векторы
образуют базис пространства
,
а подпространство
содержит
(
)
линейно независимых собственных
векторов оператора
.
Тогда векторы
,
где
,
,
образуют
базис
и
.
Аналогично векторы
,
где
,
,
(
(
)
– число линейно независимых собственных
векторов операто-
ра
,
содержащихся в подпространстве
)
образуют базис в
,
размерность которого равна
.
Продолжая рассуждения, получим базис
пространства
.
Этот базис называется жордановым
базисом.
2.3.1. Жорданова цепочка векторов
Рассмотрим
векторы
из
.
Они являются образами векторов
подпространства
,
которые в свою очередь являются образами
векторов
из
и т.д. Совокупность векторов
при фиксированном
назовем жордановой
цепочкой
векторов длины
.
Таким образом, мы получили
жордановых цепочек, каждая из которых
состоит из
векторов. Рассмотрим теперь векторы
из
,
каждому из этих векторов также
соответствует цепочка из
векторов
.
Мы, таким образом, получили дополнительно
жордановых цепочек длины
.
Рассуждая
аналогичным образом, получим далее
жордановых цепочек длины
,
цепочек длины
и т.д. Наконец, получим
цепочек длины 1, то есть цепочек, состоящих
из одного собственного вектора оператора
.
Здесь
– число линейно независимых собственных
векторов оператора
,
содержащихся в пространстве
,
размерность которого равна
.
Таким образом, общее число жордановых цепочек равно
,
то есть числу линейно независимых собственных векторов оператора , и их суммарная длина равна
,
то есть размерности пространства .
Отметим еще раз соотношения между векторами одной жордановой цепочки:
…………..
или
…………..
.
Если
векторы цепочки
включить в базис, то этой цепочке в
матрице будет соответствовать клетка
из
строчек и
столбцов (
– длина жордановой цепочки) вида
.
Поэтому в построенном жордановом базисе матрица оператора будет иметь вид
,
где
–
матрица,
называемая жордановой клеткой порядка
,
– число жордановых цепочек, а
.
Матрица называется жордановой матрицей.