3.2. Формула Пуассона

Если число испытаний n велико, а вероятность появления события А в каждом испытании очень мала (близка к нулю), то используют формулу Пуассона, согласно которой

, где . (3.6)

Равенство 3.6 тем точнее, чем больше число испытаний n.

Формула используется и тогда, когда известна продолжительность испытаний t и среднее число наступлений события в единицу времени  (интенсивность потока событий). В этом случае вероятность того, что за время t событие появится ровно m раз, вычисляется по формуле

(3.6а)

3.18. При транспортировке изделие может быть повреждено с вероятностью 0,002. Найти вероятность того, что в партии из 2000 изделий в пути окажутся поврежденными три изделия.

Р е ш е н и е. Имеем: n = 2000; p = 0,002;  = np = 4; m = 3. Вероятность появления события в одном испытании очень мала, поэтому используем формулу Пуассона. Из табл. 3 Приложений находим, что P₂₀₀₀(3) = 0,195367. 

3.19. Среднее число вызовов, поступающих на АТС за 1 мин, равно двум. Найти вероятность того, что за 4 мин. поступит: а) четыре вызова; б) менее четырех вызовов; в) не менее четырех вызовов.

 По условию интенсивность потока вызовов  = 2, значит,

Из табл. 3 Приложений находим:

а) P₄ (m = 4) = 0,0573 ;

б) P₄ (m < 4) = 0,0003 + 0,0027 + 0,0107 + + 0,0286 = 0,0423 ;

в) P₄ (m  4) = 1  P₄ (m < 4) = 1  0,0423 = 0,9577. 

20. Вероятность того, что любой абонент позвонит на коммутатор в течение часа, равна 0,01. Телефонная станция обслуживает 300 абонентов. Какова вероятность того, что в течение часа позвонят 4 абонента?

21. Прибор состоит из 800 элементов, каждый из которых за время t независимо от остальных может выйти из строя с вероятностью 510 ^3. Найти вероятность того, что за время t откажут: а) ровно три элемента; б) хотя бы один элемент; в) не более трех элементов.

22. Аппаратура состоит из 2000 одинаково надежных элементов, вероятность отказа каждого из которых равна 510 ^4. Определить вероятность отказа аппаратуры, если для этого достаточно отказа хотя бы двух элементов.

23. Корректура в 400 страниц содержит 800 опечаток. Найти вероятность того, что на случайно открытой странице не более трех опечаток.

24. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в течение часа, равно 120. Найти вероятность того, что за две минуты на АТС: а) не поступит ни одного вызова; б) поступит менее двух вызовов; в) поступит ровно три вызова.

25. Аэропорт в течение часа принимает в среднем четыре самолета. Найти вероятность того, что в течение двух часов в аэропорт прибудут: а) ровно 6 самолетов; б) не более шести самолетов.

3.3. Теоремы Муавра - Лапласа

Если вероятность p появления события в одном испытании не столь близка к нулю или к единице, используют локальную теорему Муавра-Лапласа:

При достаточно больших значениях npq

где (3.7)

Для функции составлены таблицы ее значений при (см. табл. 1 Приложений).

На практике больший интерес представляет вопрос о вероятности того, что событие А появится в серии n испытаний от до раз. В этом случае используется интегральная теорема Муавра-Лапласа, согласно которой

(3.8)

где а  так называемый интеграл вероятностей, или интегральная функция Лапласа, значения которой определяются из таблицы (см. табл. 2 Приложений).

3.26. Известно, что в партии из 2000 изделий в среднем 20% всех изделий являются второсортными. Найти вероятность того, что в результате проверки качества изделий в партии второсортными окажутся от 360 до 480 изделий.

 По условию n = 2000, p = 0,2, q = 0,8, m₁ = 360, m₂ = 480. Согласно (3.8) где

Из табл. 2 Приложений находим: (2,24) =  0,4874; (4,47) = 0,5. Отсюда искомая вероятность равна = 0,5 + 0,4874 0,9874. 

27. При массовом производстве полупроводниковых триодов вероятность брака при формовке равна 0,1. Какова вероятность того, что в партии из 400 случайно отобранных триодов 50 окажутся бракованными?

28. Вероятность выхода из строя одного конденсатора за время Т равна 0,2. Определить вероятность того, что из 100 конденсаторов в течение времени Т выйдет из строя: а) ровно 20 конденсаторов; б) от 15 до 35 конденсаторов.

29. АТС обслуживает телефонную сеть, состоящую из 10000 номеров. Вероятность того, что в период от 19 до 22 часов каждый из этих номеров будет занят, равна 0,5. Определить вероятность того, что число одновременно занятых в это время номеров будет не более 4900.

30. Имеется 100 станков одинаковой мощности, работающих независимо друг от друга. В каждый момент времени включенными оказываются 80% всех станков. Какова вероятность того, что в произвольный момент времени включенными окажутся: а) ровно 75 станков; б) от 70 до 86 станков?

31. Найти вероятность того, что среди 80 выловленных из пруда рыб карпа окажется от 55 до 70 штук, если известно, что численность карпа в водоеме составляет 75%.

32. В период весенней путины в среднем 15% выловленных осетровых рыб оказывается непромыслового размера. Найти вероятность того, что среди 120 пойманных осетровых рыб непромыслового размера окажется от 20 до 30 штук.

33. Естественная смертность мальков осетровых на рыбоводном заводе составляет в среднем 20%. Найти вероятность того, что из каждой тысячи мальков выживут от 780 до 830 штук.

34. На склад поступает продукция трех фабрик, причем изделия первой фабрики на складе составляют 30%, второй – 32% и третьей – 38%. В продукции первой фабрики 60% изделий высшего сорта, второй – 25%, третьей – 50%. Найти вероятность того, что среди 300 наудачу взятых со склада изделий число изделий высшего сорта заключено между 130 и 170.