2. Метод локализации оптимума.

С целью повышения точности и уменьшения числа расчетов целевой функции используется процедура двойного сканирования. В начале необходимо определить [ - ,  + ], а затем вновь повторить сканирование. Этапы повторяются до достижения заданной точности. Этот метод называется локализацией оптимума. Он работает наиболее эффективно, если текущий интервал неопределенности делится на четыре части. При этом на начальном интервале вычисляются три точки на расстоянии (b₁-a₁)/4 друг от друга, затем рассчитывается значение функции в этих трех точках. Из полученных точек выбирается точка с минимальным значением функции и две точки по обе стороны от нее. Таким образом, получается новый интервал, для которого известны границы и середина интервала. После чего следует рассчитать только две новые точки по обе стороны от середины интервала. Расчет осуществляется до тех пор, пока длина конечного интервала не станет меньше заданной точности.

Алгоритм метода локализации оптимума.

Начальный этап. Выбрать начальный интервал [a₁, b₁] и точность поиска l. Задать k = 1, i=1 и перейти к основному этапу.

Основной этап. Шаг 1. Определить _k=(b_k–a_k)/4. Вычислить значение х_ik=a_k + i_k и f(x_ik). Если i=3, то перейти к шагу 2, иначе положить i=i+1 и вернуться к шагу 1.

Шаг 2. Выбрать минимальное значение функции f(x_i) и соответствующее ему значение x_ik. Если i(min)=1, то a_к+1= a_к, b_к+1=x_2,k, x_{2, k+1}= x_{1, k..} Если i(min)=2, то a_к+1= x_{1, k}, b_к+1=x_3,k, x_{2, k+1}= x_{2, k..} Если i(min)=3, то a_к+1= x₂,_к, b_к+1=b_,k, x_2,k+1=x_3,k, положить k=k+1 и перейти к шагу 3.

Шаг 3. Если (b_k – a_k)<l, то остановиться, минимум функции находится на интервале [b_k – a_k]. Иначе, перейти к шагу 4.

Шаг 4. Вычислить _k=(b_k – a_k)/4, x_1,k=a_k+_k и x_3,k=a_k+3_k , а также f(x_1,k ), f(x_3,k ). Перейти к шагу 2.

Пример расчета экстремума функции методом локализации оптимума.

Постановка задачи. Определить экстремум функции f(x)=(x-2)²+7 на полученном с использованием метода сканирования начальном интервале [-20;20] с точностью l=0,5.

Расчет экстремума методом локализации оптимума для заданной задачи реализован средствами ECXEL. Результаты расчета представлены в таблице 2.2.

Таблица 2.2

Расчет экстремума функции f(x)=(x-2)²+7 методом локализации оптимума.

№	а	b	x1	x2	x3	f(x1)	f(x2)	f(x3)	|b-a|	Критерий
1	-20.00	20.00	-10.00	0.00	10.00	151.00	11.00	71.00	40.00	не достигнут
2	-10.00	10.00	-5.00	0.00	5.00	56.00	11.00	16.00	20.00	не достигнут
3	-5.00	5.00	-2.50	0.00	2.50	27.25	11.00	7.25	10.00	не достигнут
4	0.00	5.00	1.25	2.50	3.75	7.56	7.25	10.06	5.00	не достигнут
5	1.25	3.75	1.88	2.50	3.13	7.02	7.25	8.27	2.50	не достигнут
6	1.25	2.50	1.56	1.88	2.19	7.19	7.02	7.04	1.25	не достигнут
7	1.56	2.19	1.72	1.88	2.03	7.08	7.02	7.00	0.63	не достигнут
8	1.88	2.19	1.95	2.03	2.11	7.00	7.00	7.01	0.31	достигнут

После семи итераций и восьми расчетов значений функции интервал неопределенности составил [1,88; 2,19]. При этом |b₈ – a₈|=0,31, что меньше заданной величины 0,5. В качестве точки минимума может быть взята середина интервала 2,03. Следует отметить, что искомый минимум находится в точке х*=2.0.