2.1.1.3 Медиана наблюдений

Медианой называют наблюдаемое значение (так называемую варианту), которая делит вариационный ряд на две части, равные по числу вариант.

Медиана вычисляется по нижеприведённым формулам.

Если – четное, то медиана рассчитывается по формуле:

,

(2.9)

Если – нечетное, то по формуле:

,

(2.10)

Следует иметь в виду, что медиана является наиболее эффективной оценкой для симметричных экспоненциальных распределений, в которых контрэксцесс принадлежит интервалу . Для класса распределений, близких к нормальному, с эффективными оценками являются среднее арифметическое , занимающие медианное положение.

Для распределений, близких к равномерному и арксинусоидальному, с целесообразно использовать центр размаха . Для двухмодальных распределений с центр срединного размаха .

Медиана является эффективной оценкой центра экспоненциальных пологоспадающих одномодальных распределений Лапласа с эксцессом .

2.1.1.4 Срединный размах вариационного ряда

Центр срединного размаха определяют в зависимости от кратности членов ряда по нижеприведенным формулам.

При n, кратном 4 находится по формуле:

.

(2.11)

При четном находится по формуле:

.

(2.12)

При , кратном 4 находится по формуле:

.

(2.13)

При , кратном 4 находится по формуле:

.

(2.14)

Центр срединного размаха вариационного ряда может быть определен также по формуле:

,

(2.15)

где  ,  – 25 % и 75 %-ные квантили опытного распределения (представляют собой усредненные значения конкретных результатов наблюдений).

Для симметричных двумодальных распределений с эксцессом (например, композиция двух экспоненциальных распределений) эта оценка является эффективной.

Следует отметить, что обе квантильные оценки являются защищенными от влияния промахов, поскольку они не зависят от координат промахов.

2.1.1.5 Центр размаха

Для ограниченных распределений (равномерных, треугольных, трапецеидальных и др.) эффективной оценкой центра распределения может служить центр размаха вариационного ряда, вычисляемый по формуле:

,

(2.16)

где     – крайние значения вариационного ряда.

Однако эта оценка очень чувствительна к результатам с грубой погрешностью, так как она определяется по наиболее удаленным от центра распределения результатам наблюдений, каковыми и являются промахи.

В условиях, когда отсутствуют сведения о законе и виде распределения за оценку центра рекомендуется принимать медиану оценок ,  ,  ,  , , расположенных в вариационный ряд.

2.1.2 Определение оценок среднеквадратического отклонения

Оценка генеральной дисперсии любого закона распределения может быть вычислена (при неизвестном математическом ожидании генерального среднего) по формуле:

.

(2.17)

Эта оценка является несмещенной и состоятельной, а для нормального распределения – еще и эффективной.

Для нормального закона распределения оценка генерального среднеквадратического отклонения (СКО) результатов наблюдений определяется:

.

(2.18)

Оценка является несмещенной, состоятельной и асимптотически эффективной только для нормального закона. В случае представления результатов вариационным рядом следует пользоваться формулой (5.3).

Несмещенная оценка СКО для нормальных распределений так же определяется по формуле:

;

(2.19)

.

(2.20)

Значения коэффициента приведены в таблице 2.1

Таблица 2.1 – Значения коэффициента в зависимости от количества наблюдений

1	1,253	10	1,025	19	1,013
2	1,128	11	1,023	20	1,012
3	1,085	12	1,021	25	1,010
4	1,064	13	1,019	30	1,008
5	1,051	14	1,018	35	1,007
6	1,042	15	1,017	40	1,006
7	1,036	16	1,016	45	1,006
8	1,032	17	1,015	50	1,005
9	1,028	18	1,014	60	1,004

СКО случайной погрешности оценки центра распределения (СКО результата измерений) убывает по сравнению с СКО результата наблюдений в , как показано по формуле:

.

(2.21)

Определение оценок третьего центрального момента , коэффициента асимметрии , СКО коэффициента асимметрии проводится по формулам:

;

(2.22)

;

(2.23)

.

(2.24)

Формулы для вычисления начальных и центральных моментов и соотношения между ними приведены в таблице 2.2.

Таблица 2.2 – Перечень формул /16/

Выбор формул, приведенных во второй и третьей графах таблицы и дающих практически одинаковые результаты, осуществляют в зависимости от особенностей используемых средств вычислительной техники, алгоритмов и программ обработки информации.

Рассмотрим на примере последовательность определения оценок центра распределения.

Даны результаты 20 измерений перемещения для точек пера лопатки компрессора под действием центробежной силы. Результаты наблюдения и частота их появления указаны в таблице 2.3.

Таблица 2.3 – Результаты наблюдений

, мкм	23,0	23,1	23,2	23,3	23,4	23,5	23,6	23,7
	1	5	6	3	2	1	1	1

Требуется определить оценки результата измерения и СКО результатов наблюдений и измерения.

Будем считать, что закон распределения не известен. В этом случае, как отмечалось раньше, за оценку центра распределения экспериментальных данных принимают медиану из ряда пяти оценок центров ,  ,  ,  , (расположенных в вариационный ряд).

Определяем оценку центра как:

а) среднее арифметическое по формуле (2.4):

мкм;

б) среднее арифметическое 90 %-ной выборки определяем по формуле (2.7). Пять процентов выборки в нашем случае , т. е. один результат измерения. Отбрасываем по одному измерению с концов вариационного ряда, т. е. результаты  мкм и  мкм. Тогда:

мкм;

в) медиану распределения - по формуле (2.9). Поскольку n-четное, то

мкм

мкм;

г) срединный размах определяем по формуле (2.15). Для этого вычисляем 25 % и 75 %-ные квантили опытного распределения. Этими квантилями являются точки между 4 и 5, а также между 16 и 17 результатами:

мкм;  мкм.

Тогда:

мкм.

д) центр размаха определяем по формуле (2.16):

мкм

мкм.

Полученные оценки центра распределения располагаем в вариационный ряд: < < < < или 23,20<23,225<23,25<23,26<23,35 мкм.

За оценку центра распределения (результата измерения) окончательно принимаем среднее арифметическое 90 %-ной выборки, так как эта оценка занимает медианное положение в ряду оценок:  мкм.

Оценку СКО результатов наблюдений вычисляем по формуле (2.17):

мкм.

Оценку СКО результатов измерений определяем по формуле (2.21):

мкм.