5. Оценка случайных погрешностей.

Задача оценки погрешности результата измерения состоит в том, чтобы указать границы возможного изменения погрешности результата измерений при повторных измерениях. Наиболее полной характеристикой случайной погрешности как и любой случайной величины является закон распределения вероятности её появления.

В большинстве случаев в качестве такого закона используется закон нормального распределения (закон Гаусса) (рис. 1.2)

Где х – i-ый результат измерения, М[Х] – математическое ожидание измеряемой величины, относительно которого рассеиваются результаты измерения и которое при отсутствии систематических погрешностей принимается за истинное значение измеряемой величины; ∆=х-М[Х]; σ – среднеквадратичное отклонение (разброс) х относительно М[Х] (или ∆ относительно нуля).

З акон Гаусса основан на предположении, что случайные погрешности подчинены следующим закономерностям:

а) равные по абсолютному значению погрешности (+∆ и минус ∆) равновероятны;

б) малые по абсолютному значению погрешности более вероятны, нежели большие;

в) Вероятность появления случайных погрешностей, превосходящих по модулю некоторое определенное число (предел возможной погрешности), практически равна нулю.

Д исперсия D случайной погрешности, равная дисперсии результатов измерений, представляет собой матожидание квадрата случайной погрешности и характеризует разброс результатов измерения из-за наличия случайных погрешностей

На практике удобнее пользоваться величиной , имеющей размерность случайной величины. С уменьшением σ (см. рис.1.2) растет число малых погрешностей и, значит, увеличивается степень приближения к истинному значению измеряемой величины.

Вероятность попадания случайной погрешности в некоторый заданный интервал между ∆ ₁ и ∆ ₂ определяется выражением

Н а практике широко применяется нормированное нормальное распределение, которое получается при переходе к случайной величине k= ∆/σ. Для него заранее просчитаны (табулированы) значения доверительной вероятности Р (вероятности попадания нормированной случайной величины в диапазон от минус k до +k) в соответствии с выражением

Следовательно, для характеристики случайных погрешностей ∆ надо найти σ и k. Величина k определяется задаваемой доверительной вероятностью (табл. 1.1).

Таблица 1.1

Фрагмент табулированной зависимости φ(k)

Ф = P	…	0,5	0,68	0,95	0,98	0,99	0,997
k	…	0,667	1	2	2,33	2,58	3

Д ля оценки случайных погрешностей кроме среднеквадратичного отклонения ∆_{1, 2}= ± σ используют также срединную погрешность ряда измерений ∆_1,2 =±(2/3)σ появление случайных погрешностей в пределах и за пределами интервала (2/3)σ равновероятно и равно 50%) и наибольшую возможную погрешность ∆_1,2 = (2/3)σ (вероятность появления случайных погрешностей, больших по модулю 3σ , составляет 0,3%, а меньших – 99,7%). Интервал ±3σ в случае нормального распределения представляет собой интервал достаточно достоверного результата измерения. При практических измерениях появление погрешности, большей по модулю 3σ, почти исключено.

В измерительной практике распространен также равномерный закон распределения плотности вероятности случайной погрешности (рис. 1.3), при котором функция р(∆) постоянна внутри интервала [-∆ *, +∆ ^* ] и равна нулю вне его.