Классификация матриц.

Существует несколько различных обозначений операций суммирования:

; .

Суммирование по i при j=2: .

Суммирование по j при i=4: .

Часто возникает необходимость в «двойном сложении».

.

Аналогично

При двойном суммировании порядок записи слагаемых несущественен, т.е. .

Обе величины равны полной сумме всех элементов матрицы.

Если в матрице число строк равно числу столбцов (m=n), то такая матрица называется квадратной.

А= - квадратная матрица 2-го порядка

А число её строк или столбцов называется порядком матрицы. Элементы стоящие, на диагонали, идущей из верхнего левого угла, образуют главную диагональ.

Замечание:

1. Следует иметь ввиду, что в качестве индекса может служить любая буква алфавита.

2. .

3. ij-ый элемент матрицы.

4. размерность матрицы (порядок матрицы, если она квадратная).

5. - ведущий элемент матрицы.

- диагональные элементы матрицы.

Сумма диагональных элементов квадратной матрицы называется следом матрицы и обозначается .

Квадратная матрица называется треугольной, если все элементы, расположенные по одну сторону от главной диагонали, равны нулю.

Квадратная матрица, все элементы которой под диагональю равны нулю, называется верхней треугольной матрицей, а над диагональю – нижней треугольной.

- верхняя треугольная, - нижняя треугольная матрица.

Матрицы, называются равными, если они одинакового размера (т.е. имеют одинаковое число строк и одинаковое число столбцов) и их соответствующие элементы равны, т.е. А=В, если а_ij=b_ij.

Квадратная матрица, у которой все элементы, кроме элементов главной диагонали, равны нулю, называется диагональной.

- диагональная матрица.

Диагональная матрица, у которой каждый элемент главной диагонали равен единице, называется единичной. Обозначается буквой Е. Е_{n n}= -единичная матрица n-го порядка.

Матрица, все элементы которой равны нулю, называется нулевой. Обозначается буквой О.

Матрица, содержащая один столбец или одну строку, называется матрица-столбец, или матрица-строка соответственно. Записываются в виде

А= , В= .

Матрица размера 1 1, состоящая из одного числа, отождествляется с этим числом, т.е. (2) есть 2.

Матрица, полученная из данной путём замены каждой её строки столбцом с тем же номером, называется матрицей транспонированной к данной. Обозначается А^Т.

Матрица, элементы которой симметричны относительно главной диагонали, называется симметричной.

Действия с матрицами. Свойства. Сложение и вычитание.

Операция сложения и вычитания матриц вводится только для матриц одинаковых размеров.

Пример 2: В 2007 году фирма «Дефис» реализует четыре группы канцелярских товаров предприятиям в три района г. Тюмени.

Ежегодные продажи (в единицах). Таблица 2.

Вид продукции	Районы продажи
	Центральный	Тюменский	Ленинский
1 2 3 4	198 250 65 310	89 180 35 250	150 200 70 240

Содержание таблицы запишем в форме матрицы

Аналогичные заявки на канцелярские товары в следующем году

Элементы этой матрицы характеризуют объём продаж различных видов продукции предприятиям каждого района на протяжении двух лет.

Суммой двух матриц А=(а_ij) и B=(b_ij) называется матрица C=(c_ij) такая, что с_ij=a_ij+b_ij (i= , j= ).

Пример 3:

.

и нельзя складывать!!!

Свойства сложения матриц:

1. А+В=В+А;

2. (А+В)+С=А+(В+С);

3. А+0=А;

4. А-А=0,

где А, В, С- матрицы.

Аналогично определяется разность матриц.