Вопрос 4.20*. (а) Удовлетворяет ли единогласию относительное большинство? Почему?

(б) Удовлетворяет ли единогласию правило Борда? Почему?

(в) Удовлетворяет ли единогласию последовательное исключе- ние? Почему?

Как и многие другие рассмотренные нами желательные свойства, на первый взгляд единогласие кажется очень разумным. Собственно говоря, единогласие — настолько естественное и очевидное свойство, что мы можем ожидать, что им обладает любая избирательная си- стема, которую только можно выдумать. Но, как мы видели в вопро- се 4.20, это не так. На самом деле сильная форма теоремы Эрроу, сформулированная ниже, утверждает, что любая избирательная си- стема, удовлетворяющая единогласию, обязательно будет нарушать хотя бы одно из других условий Эрроу.

Теорема Эрроу (сильная форма). Избирательная система на выборах, в которых участвуют больше двух кандидатов, не может удовлетворять условшш Эрроу i, 3, 5 и единогласию.

В другой формулировке сильная форма теоремы Эрроу утвержда- ет, что любая избирательная система, которая не навязывает предпо- чтения избирателям и не эквивалентна диктатуре, должна нарушать либо критерий НПА, либо единогласие (или оба этих свойства). Силь- ную форму теоремы Эрроу делает еще более поразительной тот факт, что условие единогласия можно заменить на другое, лишь чуть-чуть более слабое (и которому удовлетворяют и относительное большин- ство и последовательное исключение), и теорема все равно останется справедливой. Мы исследуем эту идею тщательнее в следующей гла- ве (см. с. ioi), но пока закончим эту главу, изучив пример, который иллюстрирует особенно вопиющее нарушение единогласия.

Вопрос 4.21. Рассмотрим профиль предпочтений из табл. 4.6 для выборов с четырьмя кандидатами.

Таблица 4.6

Последовательное попарное голосование и единогласие

	Число проголосовавших
Место	i	i	I
i 2 3 4	А В С D	В С D А	С D А В

(а) Найдите расписание, с которым кандидат D победит на выбо- рах при последовательном попарном голосовании.

(б) Четко объясните, почему ваш ответ на пункт (а) показыва- ет, что это последовательное попарное голосование не удовлетворяет единогласию.

(в) Почему нарушение единогласия, которое вы обнаружили в этом вопросе в каком-то смысле хуже, чем те, которые вы обнаружили в вопросе 4.20? Объясните ваш ответ.

Вопросы для дальнейшей работы

Вопрос 4.22. В этой и двух предыдущих главах мы рассмотрели пять различных избирательных систем для выборов, в которых участ- вуют больше двух кандидатов: относительное большинство, правило Борда, последовательное попарное голосование, система единствен- ного передаваемого голоса и система Блэка. Как эти системы соотно- сятся друг с другом, если их применяют на выборах с двумя кандида- тами? Объясните ваш ответ.

Вопрос 4.23. Справедлива ли теорема Эрроу для выборов с толь- ко двумя кандидатами? Если да, то объясните почему. В противном случае, приведите пример избирательной системы для выборов с дву- мя кандидатами, которая удовлетворяет всем пяти условиям Эрроу.

Вопрос 4.24. Какими из изученных желательных свойств дикта- тура как избирательная система обладает, а какими нет? А правило навязанного выбора? А правило меньшинства?

Вопрос 4-25- Для каждого из пунктов ниже найдите или приду- майте такую избирательную систему для выборов, в которых участву- ют больше двух кандидатов, которая обладает всеми тремя перечис- ленными свойствами:

1. универсальность, НПА, единогласие;

2. универсальность, НПА, отсутствие диктатуры;

3. универсальность, единогласие, отсутствие диктатуры;

4. НПА, единогласие, отсутствие диктатуры.

Вопрос 4.26. Разыщите в средствах массовой информации ста- тью о теореме невозможности Эрроу. Напишите резюме и отзыв на статью, основываясь на том, что вы узнали в этой главе.

Вопрос 4.27. Напишите краткую биографию Кеннета Эрроу, включите в нее его самые важные достижения в области теории голосования и вне ее.

Вопрос 4.28. Напишите краткую биографию Дункана Блэка, включите в нее его самые важные достижения в области теории голосования и вне ее.

Вопросы для дальнейшей работы

87

Вопрос 4.29. Напишите краткую биографию Вильфредо Паре- то, включите в нее его самые важные достижения в области теории голосования и вне ее, информацию о его политических взглядах, и личные проблемы, с которыми он сталкивался.

Вопрос 4-30. Избирательная система Блэка служит примером системы, пополненной по Кондорсе. Это значит, что она определяет победителя по Кондорсе, если он существует, и переходит к какому- нибудь другому методу голосования в противном случае. Исследуй- те по вашему выбору какую-нибудь другую систему, пополненную по Кондорсе, и напишите подробный отчет о ваших результатах. Включите в него полную оценку выбранной вами системы с исполь- зованием критериев справедливости избирательных систем, которые мы обсуждали в этой и предыдущих главах.

Вопрос 4.31. Предположим, что мы переопределим понятие из- бирательной системы. Теперь это будет правило, которое ставит в соответствие каждому возможному набору бюллетеней с транзитив- ными предпочтениями кандидата-победителя или нескольких канди- датов-победителей (а не транзитивный общественный порядок пред- почтений). Будет ли теорема Эрроу по-прежнему справедлива при таком новом определении? Приведите убедительные доводы, чтобы подтвердить ваш ответ. (Подсказка. Возможно, вы захотите вернуться к нашему обсуждению последовательного попарного голосования и общественных порядков предпочтений, начатому на с. 57.)

Вопрос 4-32. Выясните, как проходит судейство на соревновани- ях по фигурному катанию на зимних Олимпийских играх, и напиши- те резюме ваших изысканий. Включите в него настоящую финальную ранжировку и численные данные соревнований с недавних зимних Олимпийских игр.

Вопрос 4.33. Многие из ранжирующих систем, используемых при судействе на соревнованиях по фигурному катанию нарушают критерий НПА. Найдите журнал, газету или сайт в Интернете, в ко- тором есть пример из жизни, иллюстрирующий такое нарушение. Напишите подробное резюме ваших изысканий, включите в него опи- сание соревнований, во время которых произошел такой инцидент, результаты соревнований, полное описание ранжирующей системы, используемой судьями (можете сослаться на ваш ответ на вопрос 4.32, если это та же самая система), и ваше объяснение того, как вы убедились, что критерий НПА был нарушен.

Вопрос 4.34. Рассмотрите следующую избирательную систему для выборов, в которых участвуют более двух кандидатов. В каждой

возможной паре кандидаты сравниваются в борьбе один-на-один, и победителю присуждают одно очко (или пол-очка, если случилась ничья). После того, как сравнения один-на-один закончены, кандида- та, набравшего наибольшее число очков (или нескольких кандидатов в случае равных результатов), объявляют окончательным победите- лем на выборах. Эту систему часто называют методом попарных сравнений.

(а) Если бы метод попарных сравнений был использован для вы- боров декана математического факультета из вопроса 3.17, то кто бы стал победителем?

(б) Опишите естественный способ построения общественных по- рядков предпочтений, где используется метод попарных сравнений. Затем найдите общественный порядок предпочтений с помощью ме- тода попарных сравнений для выборов президента БААОМ из вопро- са 2.8.

(в) Сколько попарных сравнений потребуется для метода попар- ных сравнений на выборах, в которых участвуют четыре кандидата? А если в них участвуют пять кандидатов? п кандидатов (п обозначает произвольное целое число)?

(г) Приведите доводы за и против метода попарных сравнений. Как он соотносится с другими системами, которые мы обсуждали (от- носительное большинство, правило Борда, последовательное попар- ное голосование, система единственного передаваемого голоса и си- стема Блэка)?

(д) Каким из изученных нами критериев для оценки избиратель- ных систем (анонимность, нейтральность, монотонность, критерий большинства, КПК, критерий проигравшего по Кондорсё, НПА и еди- ногласие) удовлетворяет метод попарных сравнений? Какие он нару- шает? Подробно объясните ваши ответы и приведите убедительные доводы, подтверждающие их.

(е) Найдите журнал, газету или сайт в Интернете, где описан при- мер, когда для принятия какого-либо решения или получения ранжи- ровки был использован метод попарных сравнений. Запишите резю- ме ваших изысканий, включите в него название источника и исход голосования из этого примера.

Вопрос 4.35. Найдите дискуссию на Интернет-сайте Ральфа Ней- дера (http: //www. votenader. org/), где Нейдер утверждает, что Ал Гор потерпел поражение на выборах президента США в 2000 г. вовсе не из-за него. Изучите его комментарии и подумайте, что бы он мог сказать о критерии НПА? Согласны ли вы с его рассуждениями?

Ответы на вопросы

89

Вопрос 4-36. Изучите избирательную систему, используемую в популярном телешоу American Idol, и напишите подробный отчет о ваших изысканиях. Включите в него сравнение этой избирательной системы с другими изученными нами системами, анализ того, как она соотносится с разработанными нами критериями, и обсуждение некоторых противоречий, связанных с этой системой.

Вопрос 4.37. Изучите избирательную систему, используемую в реалити-шоу Last Comic Standing, и напишите подробный отчет о ва- ших изысканиях. Включите в него сравнение этой избирательной системы с другими изученными нами системами, анализ того, как она соотносится с разработанными нами критериями, и обсуждение некоторых противоречий, связанных с этой системой.

Вопрос 4.38. Теорема Эрроу была первой в ряду нескольких теорем невозможности, доказанных во второй половине XX века. Другие хорошо известные результаты этого периода — теоремы Сена и Гиббарда—Саттертуэйта. Изучите каждую из этих теорем и запиши- те подробный отчет о ваших изысканиях. Включите в него описание и анализ условий, используемых в каждой из этих теорем, их связь с условиями Эрроу, и краткие биографии ученых, имя которых носят теоремы.