Правило Борда

Хотя результаты значительного числа важных выборов определя- ются по методу относительного большинства, это лишь одна из рас- сматриваемых нами избирательных систем. Например, чтобы форми- ровать рейтинги университетских спортивных команд, при опросах часто опираются на метод, в котором используется система очков. !>гот метод известен под названием правило Борда, в честь Жана Шар- ля де Борда, французского астронома, математика, офицера армии и первооткрывателя в области теории голосования без относительно- го большинства.

Вопрос 2.6*. В таблице 2.2 приведена выдержка из результатов 20 лучших университетских футбольных команд согласно опросу, про- веденному Associated Press до начала сезона 1971 г.

(а) Предположим, что только команды, которые были названы лучшими, вошли в таблицу. Какая команда получила бы первое место по результатам опроса, если бы для формирования рейтинга учиты- валось только число опрошенных, назвавших команду лучшей?

(б) Получила ли команда из ответа на вопрос (а) большинство голосов опрошенных, назвавших команду лучшей?

Пока мы еще не узнали многого о правиле Борда, но одно важное наблюдение можем сделать прямо сейчас, изучая ответ на вопрос 2.6. Если принято правило Борда, то может случиться так, что большин- ство проголосовавших будут считать кандидата (или, как в этом случае, спортивную команду) самым предпочтительным, но тем не менее он не победит на выборах! Если избирательная система мо- жет проявлять такое неприятное свойство, то мы говорим, что она нарушает критерий большинства. (Мы определим этот термин более точно чуть позже). И это еще не все, в правиле Борда может проявить-

*3 лист, Матем. выборов

ся множество других странностей. Например, в списке футбольных команд, занявших согласно опросу Associated Press до начала сезона 1944 г. первые 25 мест, Nebraska получила относительное большин- ство голосов опрошенных, назвавших команду лучшей (хотя и не большинство), но в рейтинге заняла лишь четвертое место!

К этому моменту у вас может возникнуть ощущение, что это довольно странная и порочная система, — кандидат, которому отда- ли предпочтение больше половины проголосовавших, может не по- бедить на выборах. Возможно, вы думаете, что человек, который изобрел правило Борда — большой чудак, раз уж он придумал такую нелепую систему. У вас не вызывает удивления тот факт, что многие математики и политологи считают, что правило Борд£ вовсе не стран- ное и тем более не порочное, что на самом деле оно предпочтительней метода относительного большинства? Мы рассмотрим такую точку зрения подробнее несколько позже, а вначале нам нужно обратить внимание на некоторые детали, которые не беспокоили нас, пока мы рассматривали выборы только с двумя кандидатами.

Порядки предпочтения

Заметим, что в выборах с двумя кандидатами то, как избиратель ранжирует кандидатов от наиболее до наименее предпочтительного, определяется тем, за кого он проголосовал. Вспомним, например, вы- боры мэра в Стикивилле из гл. i. Если я голосую за Штуцман, это озна- чает, что я отдаю ей первое место, а Довеллу—второе. Поскольку кан-

дидатов всего двое, то как только станет известно, за кого я проголо- совал, вы сразу узнаете все возможное о моих предпочтениях относи- тельно кандидатов.

Но теперь предположим, что вам как-то удалось узнать, что на выборах президента США в 2000 г. я голосовал за Буша. Понятно, что на второе и третье места я должен бы был поставить Гора и Нейдера (мы не будем принимать во внимание остальных многочисленных не | толь популярных кандидатов), однако в каком порядке? Если бы Буш не победил, кого бы я поставил на второе место? А кого я предпочел бы в последнюю очередь?

Конечно же, я знаю ответ на этот вопрос, но вот вы — нет. Зная лишь то, что я проголосовал за Буша, вы никак не можете дога- даться о моих предпочтениях относительно Гора и Нейдера. Для того, чтобы выяснить это, либо вы должны быть телепатом (это пк^?), либо я должен дать вам больше информации. Приняв второй вариант, я мог бы предоставить вам порядок предпочтений (иногда го называют бюллетенем предпочтений или списком предпочтений). С учетом того, что я проголосовал за Буша, этот порядок будет одним 11 следующих:

Место	Кандидат
i 2 3	Буш Гор Нейдер
Место		Кандидат
i 2 3		Буш Нейдер Гор

Для экономии чернил я мог бы записать мои предпочтения в крат- зм виде, используя обозначение Б >~ Г >- Н для порядка предпочте- ний слева и Б у Н >- Г для порядка предпочтений справа. (Заме- тим, что символ >- аналогичен знаку «больше», который мы использу- ем, сравнивая числа; он означает «предпочтительнее» и дает возмож- ность компактно перечислять предпочтения.)