
- •Глава 7. Интегральное исчисление
- •§1. Неопределенный интеграл
- •Свойства интегралов
- •§2. Методы интегрирования
- •4. Интегрирование рациональных функции. Следующие функции называются простейшими рациональными дробями:
- •§3. Определенный интеграл
- •С войства определенного интеграла
- •§4. Применение определенных интегралов
- •§5. Несобственные интегралы
- •Упражнения
4. Интегрирование рациональных функции. Следующие функции называются простейшими рациональными дробями:
Интегрирование таких функций осуществляется следующим образом.
1).
2).
3).
Сначала
выделяется полный квадрат в знаменателе:
=
=
Теперь,
делается замена:
,
отсюда
Тогда
где
=
=
=
4).
С помощью той же замены
при n
> 1 получается:
a).
Первое слагаемое вычисляется с помощью
замены
,
:
=
б). Второе слагаемое вычисляется методом интегрирования по частям. Пусть
.
Тогда
.
Пусть
тогда
По
формуле (51),
Получилось так называемое рекуррентное соотношение для интеграла In :
Это соотношение позволяет последовательно вычислить In для любого n.
Пример 7. Найти следующие интегралы.
1).
2).
=
3).
Здесь
E=
.
Так как D
< 0, то
+
11
5. Интегрирование некоторых тригонометрических функций. Следующие интегралы демонстрируют основные приемы интегрирования тригонометрических функций.
1).
Интегралы
используют тригонометрические формулы
преобразования произведения в сумму
(см. главу 4 §2).
а).
=
б).
=
в).
=
+
2).
Интегралы
используют тригонометрические формулы
понижения степени, (см. главу 4 §2).
а).
б).
в).
3).
Интегралы вида
используют замены sinmx
= t,
cosmx
= t,
соответственно.
а).
б).
§3. Определенный интеграл
Пусть функция f(x) определена на отрезке [a; b]. Этот отрезок разбивается на n частей точками: а = х0 < x1 < x2< … < xn = b, и пусть x1, x2, …, xn длины отрезков разбиения. Из каждого такого отрезка
(xi; xi) выбирается произвольная точка i , вычисляется значение f(i), и составляется сумма
S1 = f(1)x1 + f(2)x2 + … + f(n)xn . (52)
Эта сумма называется интегральной суммой для f(x) на [a; b], более кратко она записывается в виде
S1 =
.
Затем, отрезки (xi; xi) разбиваются на более мелкие части, из них выбираются новые точки и составляется новая интегральная сумма S2 вида (52). Этот процесс разбиения отрезка [a; b] на более мелкие части, и составление соответствующих интегральных сумм продолжается бесконечно. В результате возникает бесконечная последовательность интегральных сумм: S1, S2, S3, … .
Определение 3. Определенным интегралом от функции f(x) в пределах от а до b называется предел указанных выше интегральных сумм, когда отрезок [a; b] бесконечно измельчается, если этот предел существует и не зависит от способов разбиения и выбора точек.
Обозначение:
Числа a, b называются пределами интегрирования.
Понятие интегральной суммы
иллюстрируется на чертеже 40. Рассматривается
непрерывная положительная функция y
= f(x)
на [a; b].
Ее график и ось Оx образуют
криволинейную трапецию аАВb.
Через точки деления а, x,
x2,
…, xn,
b проведены отрезки,
параллельные оси ОY
, и образованы прямоугольники с
основаниями
и высотами f(1),
f(2),
…, f(n).
y f (n) В
f
(2) y
= f(x)
f(1)
А …
x
0 a 1 x1 2 x2 . . . xn-1 n b
Черт.40.
Тогда площади этих прямоугольников равны f(1)x1, f(2)x2 , …, f(n)xn, соответственно, и их сумма f(i)xi является приближенным значением площади всей криволинейной трапеции аАВb. Если производить более мелкие разбиения [a; b], то соответствующие суммы f(i)xi будут приближаться к истинному значению площади аАВb. Поэтому площадью криволинейной трапеции аАВb назван предел указанных сумм f(i)xi, когда отрезок [a; b] бесконечно измельчается. С другой стороны, эти суммы являются интегральными суммами для функции f(x) на [a; b]. Тем самым, получен следующий геометрический смысл определенного интеграла:
Определенный интеграл положительной функции y = f(x) по отрезку [a; b] равен площади криволинейной трапеции аAВb.