Черт.11. Разность векторовa иb определяется через уже введенные операции:

a b =a + (1)b.

Легко видеть, что в параллелограмме ABCD выполняются равенства:

Поэтому сумма есть вектор-диагональ , и разность есть вектор-диагональ

B C

A D

Черт.12.

Для данных операций выполняются следующие свойства.

1.a +b =b +a; (коммутативность)

2. (a +b ) +c =a + (b +c); (ассоциативность)

3. k (a +b) = ka + kb; (дистрибутивность)

4. k (ma) = (k m)a; (ассоциативность)

5. (k + m)a = ka + ma; (дистрибутивность)

6. a а =0. (свойство противоположных векторов)

Пример 15. На трех векторах a = , b = ,c = построен параллелепипед. Указать те его векторы-диагонали, которые соответственно равны a + b – c, a – b + c (см. чертеж 13).

Решение. Для первой комбинации выбирается вершина А₁, в ней помещается векторa , который равен . В вершине B₁ пристраивается векторb, который в данном построении равен . Теперь, в вершине C₁ пристраивается вектор –с, который равен . По правилу многоугольника, получилось, что a + b – c = – искомый вектор-диагональ. Аналогично показывается, что комбинацияa –b +c равна =

D₁ C₁

A₁

B₁

c D C

b

a

A B

Черт.13.

Геометрической проекцией точки А на числовую ось ОХ является основание А₁ перпендикуляра, опущенного из А на эту ось (обозначение: Пр_ОХ(А) = А₁ ). Точка А₁ имеет на оси ОХ некоторую координату х, эта координата называется алгебраической проекцией точки А на числовую ось ОХ (обозначение: Пр_ОХ(А) = х ). Геометрической проекцией вектора на числовую ось ОХ является вектор , где А₁ = Пр_ОХ(А) и В₁ = Пр_ОХ(В) (обозначение: Пр_ОХ( ) = ). Алгебраической проекцией вектора на числовую ось ОХ называется число (х₂ – х₁), где х₁ = Пр_ОХ(А) и х₂ = Пр_ОХ(В). (обозначение: Пр_ОХ( ) = (х₂ – х₁) ).

Ортом оси ОХ называется векторе, имеющий длину 1 и направление, одинаковое с осью ОХ.

Лемма 1. Геометрическая проекция вектора на ОХ равна произведению орта оси ОХ на алгебраическую проекцию этого вектора на ОХ:

Пр_ОХ(а ) = Пр_ОХ(а )е.

Доказательство несложное, но имеет рутинный характер. Оно использует непосредственно определение геометрической и алгебраической проекций вектора и определение произведения вектора на число, при этом рассматриваются все возможные случаи положения вектора относительно числовой оси и возможные знаки числа. [8. с.113].

Свойства проекций вектора.

1). Геометрическая проекция суммы векторов равна сумме геометрических проекций векторов, входящих в эту сумму:

Пр_ОХ(а₁+а₂ + … + а_n) = Пр_ОХ(а₁) + Пр_ОХ(а₂) + … + Пр_ОХ(а_n).

2). Алгебраическая проекция суммы векторов равна сумме алгебраических проекций векторов, входящих в эту сумму:

Пр_ОХ(а₁+а₂ + … + а_n) = Пр_ОХ(а₁) + Пр_ОХ(а₂) + … + Пр_ОХ(а_n).

3). Геометрическая проекция произведения вектора на число k равна произведению геометрической проекции этого вектора на число k :

Пр_ОХ(k а) = kПр_ОХ(а).

4). Алгебраическая проекция произведения вектора на число k равна произведению алгебраической проекции этого вектора на число k :

Пр_ОХ(k а) = kПр_ОХ(а).

Здесь сначала геометрическим способом доказываются свойства геометрических проекций, а затем, с помощью леммы 1, получаются свойства алгебраических проекций. [8 с.151].

Определение 9. Пусть ОХYZ – декартова система координат в пространстве и а – вектор. Координатами а называются алгебраические проекции этого вектора на оси координат.

Используются следующие обозначения для координат вектораа и самого вектора через его координаты:

а_х= Пр_ОХ(а), а_у= Пр_ОY(а), а_z= Пр_ОZ(а), а ={а_х; а_y; а_z}.

Из определения алгебраической проекции следует, что если известны декартовы координаты начала А(х₁; у₁; z₁) и конца В(х₂; у₂; z₂) вектора а= , то координаты этого вектора находятся по формулам:

а_х= х₂ – х₁, а_у= у₂ – у₁, а_z= z₂ – z₁, (31)

т. е. от координат конца вычитаются координаты начала.

Если М(х, у, z) точка пространства, то вектор называется радиусом-вектором этой точки. Согласно предыдущим формулам, координаты совпадают с координатами точки М : = {х; у; z}. Кроме того, в силу формулы (30), длина вектора а ={а_х; а_y; а_z} равна корню квадратному из суммы квадратов его координат:

Из указанных выше свойств легко выводятся следующие правила вычисления линейных операций через координаты векторов.

1). При умножении вектора на число k его координаты умножаются на k:

kа ={kа_х; ka_y; ka_z}.

2). При сложении векторов их координаты складываются:

а +b ={а_х + b_x; а_y + b_y; а_z + b_z}.

Орты координатных осей OX, OY, OZ обозначаются черезi, j, k, cоответственно. Эти векторы имеют следующие координаты:

i = {1; 0; 0}, j= {0; 1; 0},k= {0; 0; 1}.

Тогда, по лемме 1, произвольный вектор а ={а_х; а_y; а_z} выражается линейно через i, j, k следующим образом:

. (33)

Пример 16. Даны точки А(3; 2; 1) и В(6; 4; 3). Найти координаты и длину вектора и выразить его линейно через орты.

Решение. Применяются формулы (31)  (33).