§2. Уравнение прямой на плоскости

Определение 1. Уравнение называется линейным относительно х, у, если оно равносильными преобразованиями приводится к виду

ах + bу + с = 0, (18)

где а, b, с  некоторые числа, причем а и b одновременно не равны нулю.

В декартовой системе координат ОХY всякое линейное относительно х, у уравнение является уравнением некоторой прямой линии на плоскости ОХY, в частности, уравнение (18) называется общим уравнением прямой. Исследование этого уравнения сводится к рассмотрению следующих случаев.

1. Если а = 0, то уравнение (18) принимает вид bу + с = 0 и задает прямую, параллельную оси ОХ.

2. Если b = 0, то уравнение (18) принимает вид ах + с = 0 и задает прямую, параллельную оси ОY.

3. Если с = 0, то уравнение (18) принимает вид ах + bу = 0 и задает прямую, проходящую через начало координат О.

Например, х = 0  уравнение оси ОY, у = 0  уравнение оси ОХ.

Если b  0, то уравнение (18) приводится к виду

у = kх + d, (19)

которое называется уравнением прямой с угловым коэффициентом и началом.

Y

M

d

 X

0

Черт.4.

Здесь   угол наклона прямой к оси ОХ; величина k = tg  называется угловым коэффициентом прямой; d  начало, равное ординате точки пересечения прямой с осью ОY.

Уравнение прямой с угловым коэффициентом k, проходящей через точку М_о(х_о; у_о), имеет вид

у = k(х  х_о) + у_о (20)

У равнение прямой, проходящей через две точки М₁(х₁; у₁) и М₂(х₂; у₂), имеет вид

При решении задач на составление уравнений прямых линий на плоскости используются указанные формулы (18) – (21).

Пример 4. Составить уравнение прямой, пересекающей ось OY в точке у = 2 и образующей с осью OX угол 45^о.

Решение. Применяется формула (19). Здесь k = tg45^о =1 и d = 2, получается уравнение: y = x – 2.

Пример 5. Составить уравнение прямой, проходящей через две точки:

а) А(3; 4) и В(2; 6); б) С(5; 1) и D(4; 1).

Решение. a). Здесь х₁ = 3, у₁ = 4, х₂ = 2, у₂ = 6, эти значения подставляются в (21) и получается уравнение прямой АВ:

б ). Здесь х₁ = 5, у₁ = 1, х₂ = 4, у₂ = 1, эти значения подставляются в (21) и получается уравнение:

Знаменатель второй дроби равен 0, в этом случае числитель этой дроби приравнивают к 0 и пишут: y 1 = 0. Получилось уравнение вида (18) с коэффициентом а = 0, т. е. прямая СD параллельна оси ОX. Ответ: у – 1 = 0.

Пример 6. Найти угловые коэффициенты следующих прямых:

a) 4х + 2y – 5 = 0; б) 4x + 2y + 1 = 0.

Решение. а). Из данного уравнения 4х + 2y – 5 = 0 выделяется слагаемое с y: 2y = 4х + 5, тогда y = 2х + 2,5. Теперь, по формуле (19), k = 2.

б). Из уравнения 4x + 2y + 1 = 0 выделяется слагаемое с y: 2y = –4х  1, тогда y = –2x –0,5. Получили k = –2.

Рассматриваются основные задачи на прямую.

1. Точка пересечения прямых линий. Пусть у = k₁х + d₁ и у = k₂х + d₂  уравнения прямых линий L₁ и L₂. Если эти линии пересекаются, то они имеют общую точку. Эта точка лежит на обеих линиях, следовательно, ее координаты должны удовлетворять обоим уравнениям. Поэтому координаты точки пересечения являются решением следующей системы уравнений:

у = k₁х + d₁,

у = k₂х + d₂.

Если эта система имеет решение (x₀, y₀), то прямые L₁ и L₂ пересекаются и x₀, y₀  координаты точки пересечения L₁ и L₂. Если система не имеет решения, то L₁ и L₂ не пересекаются.

2. Условие параллельности. Прямые L₁ и L₂ параллельны тогда и только тогда, когда их угловые коэффициенты одинаковые. Символически это утверждение записывается формулой:

L₁  L₂  k₁ = k₂ . (22)

Равенство k₁ = k₂ называется условием параллельности прямых линий.

3. Условие перпендикулярности. Прямые L₁ и L₂ перпендикулярны тогда и только тогда, когда произведение их угловых коэффициентов равно 1:

L₁  L₂  k₁ k₂ = 1. (23)

Равенство k₁ k₂ = 1 называется условием перпендикулярности прямых линий.

4. Расстояние от точки до прямой. Расстояние d от данной точки М₁(х₁; у₁) до прямой, заданной уравнением (17), вычисляется по формуле:

(24)

Пример 7. Составить уравнения прямых, проходящих через точку

М(3; 4) параллельно и перпендикулярно прямой: 2x + y = 1.

Решение. 1-я часть. Сначала применяется формула (20). Здесь х₀ = 3, y₀ = 4, получается формула у = k(х  3) + 4. Для первой прямой, проходящей параллельно указанной прямой, угловой коэффициент k находится из условия (22). Это условие запишется в виде: k = k₁, где k₁  угловой коэффициент прямой 2x + y = 1. Как в примере 6, получается k₁ = 2. Тогда k = 2 и получается уравнение первой прямой: у = 2(х  3) + 4 или у = 2х + 10.

2-я часть. Для второй прямой, проходящей перпендикулярно указанной прямой, угловой коэффициент k находится из условия (23). Это условие запишется в виде: k k₁ = 1, где k₁  угловой коэффициент прямой 2x + y = 1. В первом случае было получено k₁ = 2, тогда k = (1):(2) = 0,5. Теперь получается уравнение второй прямой у = 0,5(х  3) + 4 или у = 0,5х + 2,5.

Ответ: у = 2х + 10, у = 0,5х + 2,5.

Пример 8. Для треугольника с вершинами А(3; 2), В(2; 5), С(6; 2) составить уравнения медианы и высоты, проведенных из вершины А и найти их длины.

Решение. 1-я часть. Медиана соединяет вершину А с серединой М противолежащей стороны ВС. Середина ВС находится так же, как в примере 3.

Точка М имеет координаты (2; 1,5). Для точек А и М применяется формула (21):  это уравнение медианы. Ее длина равна расстоянию между точками А и М, это расстояние находится по формуле (1).

2-я часть. Высота соединяет вершину А с основанием D перпендикуляра, опущенного из вершины на противолежащую сторону ВС или ее продолжение. Сначала составляется уравнение стороны ВС по формуле (21):

Высота BD проходит через точку А перпендикулярно ВС, ее уравнение находится также как во 2-части примера 7. Здесь k₁ =  , тогда k = . Это значение и координаты А подставляются в уравнение (20), получается: - это уравнение высоты AD. Длина высоты равна расстоянию от точки А до прямой ВС. Для этого выбирается общее уравнение ВС: 7х+8у – 26 = 0 и применяется формула (24):

 1,03.

Ответ: длина медианы  1,12; длина высоты  1,03.