§3. Уравнения линий второго порядка

Линией второго порядка на плоскости называется линия, определяемая уравнением 2-й степени относительно х, у. Общее уравнений таких линий будет рассмотрено ниже, а сначала изучаются уравнения окружности, эллипса, гиперболы и параболы.

Определение 2. Окружностью радиуса R с центром в точке С называется множество всех точек плоскости, удаленных от С на расстоянии R.

Пусть М(х; у) – текущая точка окружности и (х₀; y₀) – координаты центра С, тогда уравнение окружности радиуса R имеет вид:

(х – х₀)² + (y – y₀)² = R² (25)

Если в уравнении (25) раскрыть скобки, то оно примет вид

х² + y² + mx + ny + p = 0,

г де m, n, p – некоторые числа. Наоборот, чтобы от этого уравнения перейти к уравнению вида (25), нужно в левой части выделить полные квадраты с переменными х и у, в результате получится равносильное уравнение вида:

Т огда, если здесь правая часть равенства положительна, то получено уравнение окружности, координаты центра и радиус которой равны:

Пример 9. Написать уравнение окружности радиуса 5 с центром в точке (3; 4), и построить ее. Проверить, лежат ли на этой окружности точки А(1; 1), В(3; 2), О(0; 0)?

Решение. Применяется формула (25). Здесь х₀ = 3, y₀ = 4, R = 5, получилось уравнение окружности: (х – 3)² + (y + 4)² = 25. Теперь, в это уравнение подставляются координаты указанных точек. Легко видеть, что точки А и О удовлетворяют этому уравнению, а точка В не удовлетворяет. Следовательно, А и О лежат на окружности, а В не лежит (см. чертеж 5).

Пример 10. Найти центр и радиус окружности: х² + y²  6x + 4y  23 = 0.

Решение. В левой части уравнения выделяются полные квадраты с х и у:

х² + у²  6х + 4у  23 = (х²  6х + 9) – 9 + (у² + 4у+ 4)  4  23 = (х 3)² + (y+ 2)²  36 = 0 или (х 3)² + (y + 2)² = 36. Согласно формуле (11), центр имеет координаты (3; 2) и радиус равен 6. Но можно сразу применить указанные выше формулы для центра и радиуса окружности. Здесь m =  6, n = 4, p = 23, тогда С(6/2; 4/2) = С(3; 2) и R² = 23 + 36/4 + 16/4 = 36, R = 6.

Y

² В

¹

^{1 О} X

 ⁸

А -

9

Черт.5.

Определение 3. Эллипсом называется множество всех точек плоскости, сумма расстояний каждой из которых от двух данных точек F₁ и F₂ (называемых фокусами) есть величина постоянная (равная 2а).

Пусть ось ОХ проходит через фокусы F₁ и F₂, ее начало О расположено в середине между фокусами F₁ и F₂, ось ОY направлена вверх. Через M(x; y) обозначается текущая точка эллипса, тогда, по определению, точка M принадлежит эллипсу в том и только том случае, когда |F₁M| + |F₂ M| = 2а.

Пусть расстояние между фокусами |F₁F₂| равно 2с, тогда фокусы F₁ и F₂ имеют координаты (с; 0) и (с; 0). Известно, что сумма длин двух сторон треугольника больше, чем длина третьей стороны. Поэтому 2а > 2с, тогда а² > с² и можно ввести обозначение: b =(a² – c²). Теперь выделенное выше рав енство с помощью формулы (15) приводится к виду:

Это каноническое уравнение эллипса. Эллипс, заданный таким уравнением, симметричен относительно осей координат. Величины a, b называются полуосями и показаны на чертеже 6: а – большая полуось и b – малая полуось, при этом с = а² – b²). Отношение с/а =  называется эксцентриситетом, он меньше 1 и характеризует степень сжатия эллипса по оси ОY: чем меньше , тем больше эллипс сжимается по оси 0Y.

Y

b M

a a X

b

Черт.6.

Иногда рассматривают уравнение вида (26), в котором ab. Оно тоже является уравнением эллипса, но при этом фокусы F₁ и F₂ находятся на оси ОY на расстоянии с = b² – a²) от центра, их координаты равны (0, –с) и (0, +с). Теперь, эксцентриситет  = с/b и характеризует степень сжатия эллипса по оси ОX.

Пример 11. Написать каноническое уравнение эллипса, зная, что:

а) расстояние между фокусами равно 8, малая полуось равна 3;

б) большая полуось равна 6 и эксцентриситет равен 0,5.

Решение. а). По условию, 2с = 8 и b = 3, тогда с = 4 и а² =с² + b² = 16 + 9 = 25. Значения а² = 25, b² = 9 подставляются в (26), получается искомое

б ). По условию, а = 6 и  = 0,5, тогда с = а = 3 и b² =a²  c² = 36  9 =

= 27. Значения а² = 36, b² = 27 подставляются в (26), получается уравнение:

Определение 4. Гиперболой называется множество всех точек плоскости, разность расстояний каждой из которых от двух данных точек F₁ и F₂ п (называемых фокусами) есть величина постоянная (равная 2а).

Пусть ось ОX проходит через фокусы F₁ и F₂, ее начало О расположено в середине между фокусами, ось ОY направлена вверх. Пусть M(x; y)  текущая точка, тогда, по определению, точка M принадлежит гиперболе в том и только том случае, когда |F₁M|  |F₂M| = 2а или |F₂M|  |F₁M| = 2а.

Пусть расстояние между фокусами |F₁F₂| равно 2с, тогда фокусы F₁ и F₂ имеют координаты (с; 0) и (с; 0). Известно, что разность длин двух сторон треугольника меньше, чем длина третьей стороны. Поэтому 2а > 2с и а² > с², и

м ожно ввести обозначение: b =(a² – c²). Тогда выделенные выше равенства с помощью формулы (15) приводятся к виду

Это каноническое уравнение гиперболы. Гипербола, заданная таким уравнением, симметрична относительно осей координат. Величины a, b называются полуосями и показаны на чертеже 7. Точки А₁(а; 0), А₂(а; 0) – вершины гиперболы. Гипербола ось ОY не пересекает, поэтому а называется вещественной полуосью и b – мнимая полуось. При этом с = а² + b²). Отношение с/а =  называется эксцентриситетом и характеризует степень сжатия ветвей гиперболы к оси ОX: чем меньше , тем больше ветви сжимаются

к оси ОХ. Прямые y = (b/a)x и y = (b/a)x называются асимптотами гиперболы.

Y

M b

X

F₁ a 0 a F₂

b

Черт.7.

вдоль оси ОY. При этом а является мнимой полуосью и b – вещественной полуосью. Фокусы F₁ и F₂ находятся на оси ОY на расстоянии с = а² + b²) от центра, их координаты равны (0, –с) и (0, +с). Теперь эксцентриситет  = с/b и характеризует степень сжатия ветвей гиперболы к оси ОY.

Пример 12. Написать каноническое уравнение гиперболы, зная что:

а) расстояние между фокусами равно 10 и расстояние между вершинами равно 8;

б) вещественная полуось равна 25, а эксцентриситет равен 1,2.

Решение. a). По условию, 2с = 10 и 2а = 8, тогда с = 5, а = 4 и b² =

с²  а² = 25 – 16 = 9. Значения а² = 16, b² = 9 подставляются в (27), получается

б ). По условию, а = 25 и  = 1,2, тогда с = а  = 26 и b² = 24 – 20 = 4. Значения а² = 20, b² = 4 подставляются в (27), получается уравнение

О пределение 5. Параболой называется множество всех точек плоскости, одинаково удаленных от данной точки F (называемой фокусом) и от данной прямой (называемой директрисой). Пусть ось ОX перпендикулярна к директрисе, проходит через фокус F и направлена в сторону F. Ее начало расположено в середине между директрисой и фокусом, ось ОY направлена вверх. Пусть M(x; y) - текущая точка параболы и N – ее проекция на директрису. Тогда, по определению, точка M принадлежит гиперболе в том и только том случае, когда |FM| = |NM|.

A Y Y

М

N M

F p/2

F X X

 p/2 0 p/2 0 А p/2 N В

B

1. б)

Черт.8.

Пусть расстояние от фокуса до директрисы равно р, (см. чертеж 7, а). Тогда фокус F имеет координаты (р/2; 0), точка N имеет координаты (р/2; у), и выделенное выше равенство с помощью формулы (15) приводится к виду:

y² = 2px. (28)

Это каноническое уравнение параболы. В этом случае парабола симметрична относительно оси ОХ, ее ветви расположены вправо. Директриса АВ параллельна оси ОY и ее уравнение равно х = р/2.

Уравнение x² = 2py тоже является уравнением параболы, которая симметрична относительно оси ОY и, если p > 0, то ее ветви направлены вверх, а если p < 0, то ветви направлены вниз. В этом случае директриса АВ параллельна оси ОХ и фокус F расположен на оси OY (см. чертеж 8, б)).

Пример 13. Написать уравнение параболы:

а) проходящей через точки (0; 0) и (1; 3) и симметрично относительно ОХ;

б) проходящей через точки (0; 0) и (2; 4) и симметрично относительно ОY.

Решение. а). Так как парабола проходит через (0; 0) и симметрична относительно ОХ, то применяется уравнение (28). В него подставляются кординаты х = 1, у = 3 второй точки: (3)² = 2р. Отсюда находится р = 4,5. Тогда искомое уравнение параболы имеет вид: y² = 9x.

б). Так как парабола проходит через (0; 0) и симметрична относительно ОY, то применяется второе уравнение: х² = 2py. В него подставляются координаты х = 2, у = 4 второй точки: (2)² = 8р. Отсюда находится р = 0,5. Тогда искомое уравнение параболы имеет вид: x² = y или y = x² .

Определение 6. Общее уравнение линии второго порядка на плоскости имеет вид:

Ax² + 2Bxy + Сy² + 2Dx + 2Ey + F = 0 (29)

Из коэффициентов уравнения (29) составляются два определителя:

В зависимости от значений  и  уравнение (15) определяет следующий геометрический образ:

	  0	 = 0
 > 0	Эллипс (действительный или мнимый)	Точка
 < 0	Гипербола	Пара пересекающихся прямых
 = 0	Парабола	Параллельные прямые (действительные или мнимые)

Пример 14. Выяснить геометрический смысл уравнений:

1) 4x²  y² = 0; 2) 4x² + y² = 0; 3) x² + y² + 2x + 2 = 0;

4) x² + y²  6x  8y + 25= 0; 5) y² – 2x + 4y = 0; 6) y²  16 = 0;

7) 2x² + 3y²  4x  6y – 7 = 0; 8) x²  y²  4x  2y – 4 = 0.

Р ешение. Вычисляются определители  и  :

1). Здесь А = 4, С = 1, остальные коэффициенты равны 0. Тогда

Согласно таблице, уравнение 4x²  y² = 0 определяет две пересекающиеся прямые: y = 2x и y = 2x.

2). Здесь А = 4, С = 1, остальные коэффициенты равны 0. Тогда

С огласно таблице 1, уравнение 4x²  y² = 0 определяет точку О(0; 0).

3 ). Здесь А = 1, С = 1, D = 1, F = 2, остальные коэффициенты равны 0.

Согласно таблице, уравнение x² + y² + 2x + 2 = 0 определяет эллипс:

(x + 1)² + y² = 1. Более того, этот эллипс является окружностью с центром в точке (1; 0). Но так как R² = 1, то эта окружность мнимая.

4 ). Здесь А = 1, С = 1, D = 3, E = 4, F = 25, остальные коэффициенты

равны 0. Тогда

Согласно таблице, уравнение x² + y²  6x  8y + 25 = 0 определяет точку

(3; 4).

5). Здесь C = 1, D = 1, E = 2, остальные коэффициенты равны 0. Тогда  = 0,  = 1  0 и, согласно таблице 1, уравнение y² – 2x + 4y = 0; определяет параболу: (y + 2)² = (x + 2).

6). Здесь С = 1, F = 16, остальные коэффициенты равны 0. Тогда  = 0,

 = 0, и, согласно таблице 1, уравнение y²  16 = 0 определяет две параллельные прямые: y = 4 и y = 4.

7). Здесь А = 2, С = 3, D = 2, E = 3, F = 7, остальные коэффициенты

равны 0. Тогда  = 6 > 0,  = 90  0, и, согласно таблице 1, уравнение

2x² + 3y²  4x  6y – 7 = 0 определяет эллипс:

8 ). Здесь А = 1, С = 1, D = 2, E = 1, F = 4, остальные коэффициенты

равны 0. Тогда  = 1<0,  = 7  0, и, согласно таблице 1, уравнение

x ²  y²  4x  2y – 4 = 0 определяет гиперболу: