§6. Линейные однородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим линейное однородное уравнение второго порядка
|
(30) |
,где
- вещественные числа.
Теорема
1.
1) Если число
- вещественный корень уравнения
|
(31) |
,то
функция
является решением уравнения (30).
2)
если числа
и
(
)
– комплексные корни уравнения (31), то
функции
и
являются решениями уравнения (30).
Уравнение (31) называется характеристическим уравнением данного уравнения (30).
Характеристическое
уравнение (31) является квадратным
уравнением и, следовательно, имеет два
корня. Обозначим их
и
.
Теорема
2.
1) Если корни характеристического
уравнения вещественные и различные
,
то общее решение уравнения (30) имеет вид
;
2)
если корни характеристического уравнения
вещественные и равные
,
то общее решение имеет вид
;
3)
если корни характеристического уравнения
комплексные
,
,
,
то общее решение имеет вид
.
Пример
1.
Найти общее решение уравнения
.
Характеристическое
уравнение имеет вид
;
его корни
вещественные и различные. Соответствующие
частные решения уравнения
.
Общее решение уравнения имеет вид
.
Пример
2.
Найти общее решение уравнения
.
Характеристическое
уравнение имеет вид
;
его корни
вещественные и равные. Соответствующие
частные решения уравнения
.
Общее решение уравнения имеет вид
.
Пример
3.
Найти общее решение уравнения
.
Характеристическое
уравнение имеет вид
;
его корни
комплексные. Соответствующие частные
решения уравнения
.
Общее решение уравнения имеет вид
.
Контрольные вопросы:
Какой вид имеет общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае действительных различных корней характеристического уравнения?
Какой вид имеет общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае равных корней характеристического уравнения?
Какой вид имеет общее решение линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами в случае комплексных корней характеристического уравнения?
§7. Линейные неоднородные дифференциальные уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами
Рассмотрим неоднородное линейное уравнение второго порядка
|
(32) |
,где
и
- вещественные числа;
- непрерывная функция.
Общее
решение такого уравнения представляет
собой сумму частного решения неоднородного
уравнения и общего решения соответствующего
однородного уравнения. Так как общее
решение однородного уравнения мы
находить умеем, поэтому остается
рассмотреть вопрос о нахождении частного
решения. Для нахождения частного решения
можно применять метод вариации
произвольных постоянных. Однако если
в правой части уравнения (32) – многочлен,
либо показательная функция, либо
тригонометрическая функция
или
,
либо линейная комбинация перечисленных
функций, то частное решение может быть
найдено методом неопределенных
коэффициентов, не содержащим процесса
интегрирования.
Рассмотрим различные виды правых частей уравнения (32).
1)Правая часть имеет вид
,
где
- многочлен степени
.
Тогда частное решение
можно искать в виде
,
где
- многочлен той же степени, что и
,
а
- число корней характеристического
уравнения, равных нулю.
Пример
1.
Найти общее решение уравнения
.
Общее
решение соответствующего однородного
уравнения имеет вид
(см. пример 2 в §6). Так как правая часть
уравнения - многочлен первой степени и
ни один из корней характеристического
уравнения
не равен нулю
,
то частное решение ищем в виде
,
где
и
- неизвестные коэффициенты. Дифференцируя
дважды
и подставляя
в данное уравнение, найдем
.
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
в обеих частях равенства:
,
находим:
.
Итак, частное решение данного уравнения
имеет вид
а его общее решение
.
2) Правая часть имеет вид
,
где - многочлен степени . Тогда частное решение следует искать в виде
,
где
- многочлен той же степени, что и
,
а
- число корней характеристического
уравнения равных
.
Если
,
то
,
т.е. имеет место случай 1).
Пример
2.
Найти общее решение уравнения
.
Характеристическое
уравнение
имеет корни
.
Значит, общее решение соответствующего
однородного уравнения имеет вид
.
В правой части этого уравнения -
произведение многочлена первой степени
на показательную функцию
при
.
Так как среди корней характеристического
уравнения имеется только один корень
.
В данном случае
- многочлен первой степени. Поэтому
частное решение данного уравнения ищем
в виде
.
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
.
Приравнивая
коэффициенты при одинаковых степенях
в общих частях равенства:
,
находим
.
Подставляя найденные значения
и
в выражение для
,
получаем частное решение данного
уравнения
;
общее решение имеет вид
.
3) Правая часть имеет вид
,
где
a,
b
и
- известные числа. Тогда частное решение
надо искать в виде
,
где
А
и В
– неизвестные коэффициенты, а r
– число корней характеристического
уравнения, равных
.
Пример
3.
Найти общее решение уравнения
.
Характеристическое
уравнение
имеет корни
,
.
Поэтому общее решение соответствующего
однородного уравнения
.
В правой части равенства – тригонометрическая
функция
,
т. е.
,
,
.
Так как
- корень характеристического уравнения,
то
и частное решение надо искать в виде
.
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
,
откуда
,
.
Таким образом, частное решение
;
общее решение уравнения
.
4) Правая часть имеет вид
,
где
- многочлен степени
,
а
- многочлен степени
.
Тогда частное решение следует искать
в виде
,
где
и
- многочлены степени
- число корней характеристического
уравнения, равных
.
Пример
4.
Найти общее решение уравнения
.
Здесь
характеристическое уравнение
имеет корни
,
и
.
Общее решение однородного уравнения
таково:
.
В правой части уравнения - произведение
многочлена нулевой степени, показательной
и тригонометрической функций, так что
.
Число
не является корнем характеристического
уравнения, поэтому
,
и частное решение ищем в виде
.
Дифференцируя и подставляя в уравнение, получаем
.
Приравнивая
коэффициенты при
,
находим
,
откуда
Таким образом, частное решение
,
а общее решение уравнения
.
Теорема.
Если
- решение уравнения
,
а
- решение уравнения
,
то
сумма
является решением уравнения
.
Пример
5.
Найти общее решение уравнения
.
Характеристическое
уравнение
имеет корни
,
поэтому общее решение соответствующего
однородного уравнения
.
Так
как правая часть уравнения состоит из
суммы двух функций
и
,
то в соответствии с выше приведенной
теоремой частное решение данного
уравнения можно искать в виде
,
где
- частное решение уравнения
,
а
- частное решение уравнения
.
Сначала
найдем частное решение
.
Так как число
не является корнем характеристического
уравнения
,
то частное решение
будем искать в виде
.
Подставляя
,
и
в уравнение
и сравнивая коэффициенты при
и
,
получаем
,
откуда
и, следовательно,
.
Теперь
найдем частное решение
.
Будем его искать в виде
,
так как число
не является корнем характеристического
уравнения. Подставляя
,
и
в уравнение
,
имеем
.
Следовательно,
.
Таким образом, частное решение данного уравнения имеет вид
,
а общее решение этого уравнения
.
Контрольные вопросы:
В каком виде ищем частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид , где - многочлен степени
?В каком виде ищем частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид , где - многочлен степени п?
В каком виде ищем частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид , а, b и β – числа?
В каком виде ищем частное решение линейного неоднородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами, если правая часть имеет вид ?