Исследование общих систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Рассмотрим произвольную систему из m линейных уравнений с n неизвестными
Напомним, что с
такой системой мы связали две матрицы:
,
,
которые назывались
основной и расширенной матрицей системы
соответственно. Поскольку расширенная
матрица содержит основную матрицу как
свою часть, то любой (ненулевой) минор
матрицы
является
также и минором (тоже ненулевым!) матрицы
.
Отсюда следует, что ранг расширенной
матрицы не меньше ранга основной:
.
Но и намного больше он быть тоже не
может. Поскольку расширенная матрица
получается добавлением к основной
справа только одного столбца, то несложно
сообразить, что ранг при этом может
увеличиться не более, чем на единицу.
Таким образом, возможны только 2 варианта:
либо ранг расширенной матрицы равен
рангу основной, либо на единицу его
больше.
Вопрос о совместности
произвольной системы полностью
решает
Теорема
(Кронекера- Капели).
1. Система линейных уравнений совместна
тогда и только тогда, когда ранг
расширенной матрицы системы равен рангу
основной матрицы:
.
2. Если ранг совместной системы
равен числу неизвестных, то система
имеет единственное решение (определенная
система).
3. Если ранг совместной
системы меньше числа неизвестных, то
система имеет бесконечное множество
решений (неопределенная система).
Пример.
Исследовать на совместность систему
.
Решение.
.
Поскольку единственный минор второго
порядка
,
а у матрицы есть ненулевые элементы, то
.
Для расширенной матрицы
ранг
,
так как, например,
.
По теореме Кронекера-Капелли система
несовместна. Отметим, что ранее (в
параграфе «Системы линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ)») несовместность этой
системы была показана общими логическими
рассуждениями.
Пример. Исследовать
систему
.
Решение. В данном
случае
,
.
Найдем ранги этих матриц. В предыдущем
параграфе именно матрица
была приведена к канонической матрице
с помощью элементарных преобразований
строк:
~
.
После этого был сделан вывод, что
,
так как на диагонали у канонической
матрицы три ненулевых элемента. Поскольку
мы приводили матрицу
к канонической элементарными
преобразованиями только
строк, то
при этих преобразованиях последний
столбец никак не влиял на формирование
предыдущих столбцов. Отсюда следует,
что те же самые элементарные преобразования
строк, проведенные уже для основной
матрицы
,
привели бы к канонической матрице
,
а потому
.
Таким образом, ранги основной и расширенной
матрицы совпадают, причем их общее
значение равно числу неизвестных
системы. По теореме Кронекера-Капелли
теперь следует, что исходная система
совместна, причем имеет единственное
решение (определенная система). Далее
мы найдем это решение.
Эквивалентные системы
Один из эффективных способов решения систем заключается в том, что с помощью ряда преобразований исходная система сводится к более простой системе, имеющей те же самые решения. Дадим следующее определение. Две системы линейных уравнений называются эквивалентными, если они имеют одни и те же решения (либо обе решений не имеют). Таким образом, вместо решения заданной системы можно решить любую другую систему, которая эквивалентна данной. Естественно, что среди всех систем, эквивалентных данной системе, надо найти ту, которую решить наиболее просто. Наиболее просто решаются системы, основная матрица которых является ступенчатой или канонической. Системы такого вида назовем системами ступенчатого или канонического вида соответственно, и именно к таким системам можно свести любую другую.
Пусть дана произвольная система уравнений
Элементарными преобразованиями системы назовем следующие ее преобразования:
перестановка уравнений местами;
умножение обеих частей любого из уравнений системы на произвольное число (не равное нулю);
прибавление к обеим частям одного из уравнений системы другого уравнения, обе части которого предварительно умножены на некоторое число;
вычеркивание из системы уравнения вида
(если таковое в ней есть).
Несложно доказывается следующая
Теорема. Элементарные преобразования системы приводят ее к эквивалентной системе.
Оказывается, что любую систему можно с помощью элементарных преобразований привести к системе либо ступенчатого, либо канонического вида, решение которых уже не вызывает трудности. Сведение системы к системе ступенчатого вида (с последующим ее решением) называется методом Гаусса, а сведение к канонической системе − методом Жордана-Гаусса. Глядя на приведенный выше список элементарных преобразований системы, можно заметить, что каждое такое преобразование (кроме последнего) приводит к соответствующему элементарному преобразованию строк расширенной матрицы системы. Последнее же элементарное преобразование системы соответствует вычеркиванию из расширенной матрицы чисто нулевой строки. Таким образом, на практике при проведении элементарных преобразований системы удобнее (менее громоздко) работать не с самой системой, а с ее расширенной матрицей, приводя ее элементарными преобразованиями строк (к которым добавляется возможность вычеркивать нулевую строку) к ступенчатой (метод Гаусса) или канонической (метод Жордана-Гаусса) матрице.