Раздел I. Элементы теории множеств и математической логики
Этот вспомогательный раздел кратко напоминает основные начальные понятия теории множеств и математической логики. При желании (точнее, нежелании) его можно опустить.
Основные понятия теории множеств
Множество − неопределяемое понятие, как точка, число и т.д. . Предметы, из которых состоит множество, называют элементами данного множества. Множества обозначают большими буквами A, B, C, …, X, Y, Z, а их элементы — строчными a, b, c,…, x, y, z. Запись хÎ А означает, что объект х является элементом множества А Если элемент х не принадлежит множеству А, то пишут хÏ А. Множество, которое не содержит ни одного элемента, называется пустым множеством и обозначается символом Æ. Запись АÌ В (множество А содержится в множестве В) означает, что если хÎ А, то хÎ В.
Множество задается
либо перечислением его элементов, либо
указанием свойств, присущих только
элементам данного множества. Например,
множество A, состоящее
из чисел 1 и (−1), можно записать
либо
,
либо, например,
.
Для наглядного
представления множеств и отношений
между ними пользуются так называемыми
диаграммами Венна (или
кругами
Эйлера). На рисунке иллюстрация соотношения
А Ì В .
О перации над множествами
1. Объединением
множеств А
и В
(обозначается
)
называется множество, состоящее из
элементов, каждый из которых принадлежит
хотя бы
одному
из этих множеств.
2.
Пересечением
двух множеств А
и В
(обозначается
)
называется множество, состоящие из
элементов, каждый из которых принадлежит
каждому из множеств А
и В.
3. Разностью множеств А и В (обозначается А \ В) называется множество, состоящие из всех элементов А, не входящих в В.
Иллюстрация на рисунках ниже.
1
.
А
В; А + В 2.
А
В; А ∙ В 3.
А \
В; А – В
Пример. Множество А − множество студентов, а В − множество студенток некоторой студенческой группы. Тогда А В есть множество всех студентов этой группы, А В =Æ, А \ В = А .
Числовые множества – множества, элементами которых являются числа. Ниже приведены обозначения основных числовых множеств.
N – множество натуральных чисел , Z – множество целых чисел,
Q – множество рациональных чисел, R – множество действительных чисел,
C – множество комплексных чисел.
Соотношения включения между этими множествами показано на рисунке.
Основные понятия математической логики
Высказыванием называется предложение, относительно которого имеет смысл говорить, что оно истинно или ложно. Каждому высказыванию придадим значение истинности: И (истина) или 1, если это истинное высказывание, и Л (ложь) или 0, если это ложное высказывание. Обозначение высказываний: А, В, С, … Например,
А – крокодил есть дерево
В – 8 делится нацело на 4
Часто
встречаются предложения, содержащие
одну или несколько переменных:
a)
;
б)
;
в)
;
г)
x
R д)
х
является матерью для у
и т.д. и
т.д..
з соотношения
_В)
или
,
то получится истинное высказывание, во
всех прочих случаях – высказывание
ложное. Предложение, содержащее хотя
бы одну переменную и становящееся
высказыванием при подстановке вместо
переменной ее значения, называется
высказывательной
функцией или предикатом.
Обозначение:
.
Каждая переменная,
входящая в предикат, имеет некую область
значений. Например, в приведенных выше
примерах а) и б), область значений –
множество действительных чисел
,
в в) это декартов квадрат
(т.е. упорядоченное множество пар
действительных чисел (x,y)
), а в д) – тоже декартов квадрат (т.е.
упорядоченное множество пар) множества
всех людей.
Некоторые математические символы:
–
для
любого, любой ;
– существует, найдется;
– следует,
следовательно;
– тогда и только тогда, когда.
Первые
2 символа называются кванторами.
Кванторы
превращают предикаты в высказывания.
Например,
–
высказывание (ложное для предиката
выше) .