Формулы Крамера
Метод Крамера
состоит в том, что мы последовательно
находим главный определитель
матрицы коэффициентов
системы (8) и n вспомогательных
определителей
(
),
которые получаются из определителя
заменой i-го столбца столбцом правых
частей.
Правило Крамера формулируется следующим образом.
1. Если главный определитель , то система (8) имеет единственное решение, которое может быть вычислено по следующим формулам Крамера:
,
,
… ,
.
2. Если главный
определитель
,
а хотя бы один из определителей
,
,
… ,
не равен нулю, то система (8) не
имеет решений (т.е. несовместна).
3. Если
,
то система (8) является неопределенной,
причем имеет бесконечно много
решений.
Пример. Решить систему методом Крамера.
Решение. Заметим,
что раньше эта система уже была решена
матричным методом. Матрица коэффициентов
и столбец правых частей для этой системы
имеют вид
,
. Находим главный определитель :
.
Он не равен нулю, поэтому система имеет
единственное решение, которое найдем
по формулам Крамера:
,
,
.
Определители
,
и
получаются
из главного определителя заменой
соответствующего столбца на столбец
правых частей:
,
,
.
Тогда по формулам Крамера :
,
,
.
Пример. Решить методом Крамера систему .
Решение. Эта система
тоже была выше решена матричным методом.
Матрица коэффициентов и столбец правых
частей для этой системы имеют вид
,
. Главный определитель системы
. Определители
,
.
По формулам Крамера
,
,
а потому
,
.
Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы
Рассмотрим теперь методы исследования и решения произвольных систем линейных уравнений вида (6), когда количество уравнений не обязательно совпадает с количеством неизвестных. Основная идея этих методов состоит в том, что данная система заменяется другой системой определенного вида, которая имеет те же самые решения, но найти их для новой системы достаточно просто.
Сначала введем
важное понятие ранга матрицы.
Рассмотрим произвольную матрицу размера
:
Выделим в этой
матрице какие-либо
строк и столько же столбцов (ясно, что
число
может меняться от 1 до наименьшего
из чисел
и
:
). Элементы, стоящие на пересечении этих
строк и столбцов образуют квадратную
матрицу размера
.
Ее определитель называется минором
k-го порядка
матрицы А. Ясно, что миноров 1-го
порядка можно выбрать
штук по числу элементов матрицы , так
как одну строчку можно выбрать m
способами, а при каждом таком выборе
можно n способами
выбрать столбец. Каждый такой минор
равен соответствующему матричному
элементу, стоящему на пересечении
выбранной строки и столбца (по определению
определителя первого порядка). Выбрать
же пару строчек из m
имеющихся можно
способами (напомним, что
называется числом сочетаний из m
по k и показывает
число способов, которыми можно из m
различных предметов выбрать набор из
k предметов:
), а при каждом таком выборе можно
способами выбрать два столбца. Поэтому
миноров второго порядка можно выбрать
штук. Понятно теперь, что число различных
миноров произвольного k-го
порядка существует
штук.
Пример.
Рассмотрим матрицу размера
:
. Ясно, что миноров 1-го порядка 6
штук и равны они соответствующим
элементам матрицы. Рассмотрим миноры
2-го порядка. Так как у нас всего 2
строки, то разнообразием выбора пары
строк для построения миноров похвастаться
нельзя − можно выбрать только эту пару
строк. Зато столбцов у нас 3, а пару
из них можно выбрать тремя способами.
Поэтому миноров второго порядка у этой
матрицы всего три :
,
,
.
Миноров 3-го порядка быть не может,
так как из двух имеющихся строк
трудно выбрать различные три строки.
Это согласуется и с тем, что возможный
порядок миноров данной матрицы
.
Для рассматриваемой матрицы все миноры
1-го порядка отличны от нуля. Среди
миноров 2-го порядка тоже есть
ненулевые (даже два таких). В этом случае
будем говорить, что ранг данной матрицы
равен двум.
Рангом матрицы
(обозначается
или
)
называется наивысший порядок отличных
от нуля миноров данной матрицы. Поэтому
для приведенной выше матрицы
.
Таким образом, если ранг данной матрицы
равен
,
то это означает, что а) все миноры порядка
выше
(если
такие вообще есть) равны 0 ;
б)
существует ненулевой минор порядка
.
Пример. Найти
ранг
матрицы
.
Решение. Поскольку
у матрицы есть ненулевые элементы, то
Уже первый минор второго порядка в левом
верхнем углу не равен нулю:
.
Поэтому
Единственный определитель 3-го порядка
это определитель самой матрицы
.
Поэтому
.
Минор, порядок
которого определяет ранг матрицы,
называется базисным минором этой
матрицы. У приведенной выше матрицы
базисным является любой минор второго
порядка (так как
),
который не равен нулю. Выше было проверено,
что таковым является, например, минор
.
Базисных миноров может быть несколько.
Легко проверить, что у приведенной выше
матрицы все миноры второго порядка не
равны нулю, а потому все они являются
базисными.
Как будет видно из дальнейшего, умение считать ранг поможет, в частности, ответить на вопрос о совместности произвольной системы уравнений. Однако у матрицы большого порядка миноров различных порядков может быть очень много, что усложняет расчет ранга. Но оказывается, что любую матрицу можно привести к некоторой матрице простого вида с тем же рангом, для которой ранг вычисляется очень просто. Приведение исходной матрицы к матрице указанного вида проводится на основе так называемых элементарных преобразований.
Элементарными преобразованиями строк матрицы называются следующие :
перестановка местами каких-либо двух строк матрицы;
умножение какой-либо строки матрицы на любое (не равное нулю) число;
прибавление к элементам какой-либо строки матрицы соответствующих элементов другой строки, предварительно умноженных на одно и то же число.
Элементарными преобразованиями столбцов матрицы называются перечисленные выше преобразования, но в которых строки следует заменить на столбцы. Элементарными преобразованиями матрицы называются элементарные преобразования строк или столбцов этой матрицы. Матрицы А и B называются эквивалентными (обозначается это так: А ~ В ) если одна из них получается из другой с помощью элементарных преобразований матрицы. Важным свойством элементарных преобразований является следующее
Утверждение. Ранги эквивалентных матриц совпадают. Другими словами, при элементарных преобразованиях ранг не меняется.
Нельзя ли элементарными преобразованиями привести заданную матрицу к матрице какого-нибудь простого вида, для которой ранг определяется достаточно просто? В этом случае можно найти ранг исходной матрицы. Определим некоторые матрицы такого простого вида. Назовем диагональю произвольной матрицы
все элементы ее,
лежащие на диагонали, идущие от левого
верхнего элементов:
.
В случае квадратной матрицы (
)
последним элементом диагонали будет
,
а сама диагональ будет совпадать с
главной диагональю квадратной матрицы.
В другом случае последний элемент будет
находиться либо в последней строке
матрицы, либо в последнем ее столбце.
Назовем матрицу ступенчатой, если
: а) на диагонали с ее начала (т.е. с
элемента
)
стоят подряд ненулевые элементы, а все
остальные элементы диагонали (если
таковые еще остались) равны нулю; б) все
элементы матрицы ниже диагональных
элементов равны нулю.
Ступенчатая матрица называется канонической матрицей, если ее ненулевые элементы на диагонали равны единице, а все элементы выше диагональных тоже равны нулю. Ниже приведено схематическое изображение ступенчатой и канонической матриц.
Ранги ступенчатой и канонической матрицы вычисляются просто.
Утверждение. Ранг ступенчатой (и канонической) матрицы равен числу ненулевых диагональных элементов.
Утверждение. Любая матрица эквивалентна некоторой ступенчатой и некоторой канонической матрице. Другими словами, любую матрицу с помощью элементарных преобразований можно привести как к ступенчатой, так и к канонической матрице.
Проиллюстрируем метод такого приведения на примере.
Пример.
Привести элементарными преобразованиями
матрицу
к ступенчатой и канонической матрице.
Решение. Приведем сначала к ступенчатой (а затем и к канонической) матрице, используя элементарные преобразования строк.
.
Получили ступенчатую матрицу. Суть преобразований отмечена под матрицами. Например, (2) − (1) означает: из элементов второй строки вычтем элементы первой; (3) − 2∙(1) : из элементов третьей строки вычтем элементы первой, умноженные на 2. Продолжим преобразования дальше, чтобы получить каноническую матрицу.
.
По утверждениям выше ранг полученной канонической матрицы равен 3, а потому и ранг исходной матрицы равен 3.