Системы линейных алгебраических уравнений (слау)

Многие практические задачи приводят к необходимости решения такого рода систем уравнений. Приведем пример такой задачи.

Пример (прогноз выпуска продукции по запасам сырья). Предприятие выпускает 3 вида продукции, используя сырье трех типов. Характеристики производства понятны из следующей таблицы:

Требуется определить объем выпуска продукции каждого вида при условии полного расходования запасов сырья.

Решение. Обозначим через искомые объемы выпуска (в соответствующих единицах) продукции 1-го, 2-го и 3-го вида соответственно. Тогда для того, чтобы при выпуске такого объема продукции было израсходовано все сырье 1-го типа, должно выполняться равенство : . Аналогичные «балансовые» соотношения для сырья оставшихся типов: и . Таким образом, необходимо найти три числа , удовлетворяющие системе уравнений :

Можно непосредственной подстановкой убедиться, что числа , и являются решением этой системы (при подстановке в нее дают верные числовые равенства), а потому предприятие выпускает 150 единиц продукции 1-го вида, 250 единиц продукции 2-го вида и 100 единиц 3-го вида.

Система линейных алгебраических уравнений (сокращенно СЛАУ) из m уравнений с n неизвестными имеет вид

(6)

Числа являются коэффициентами при искомых неизвестных в уравнениях системы. Первый индекс чисел показывает, в каком уравнении это число находится, а второй − при каком по номеру неизвестном. Числа стоят в правых частях системы (индекс – номер уравнения).

Набор чисел называется решением системы (6), если при подстановке этих чисел вместо неизвестных в каждое уравнение (6) получается верное числовое равенство. Система может иметь решения, а может не иметь. Если система имеет решения, то она может иметь только одно решение (т.е. только один набор ), а может иметь более одного решения. В зависимости от описанной ситуации системы делятся на совместные и несовместные, определенные и неопределенные.

Совместная система – имеет хотя бы одно решение. Совместные системы могут быть определенными и неопределенными. Определенная система – имеет единственное решение. Неопределенная – имеет более одного решения. Специфика систем линейных уравнений вида (6) такова, что если эта система имеет более одного решения, то она имеет бесконечное число решений. Приведем примеры.

Система (одно уравнение с двумя неизвестными) является совместной (ее решением является, например, набор чисел (0,0) ). Эта система является неопределенной, так как ее решениями, очевидно, являются (1, –1), (2, –2), …. и вообще любая пара чисел вида (t, – t), где t – любое число.

Система является определенной, так как имеет только одно решение (1, –1). В этом можно убедиться, решая систему «школьными» методами (выражая из одного уравнения одну неизвестную через другую и подставляя во второе уравнение).

Система является несовместной. Это становится понятным, если второе уравнение системы представить в виде . Теперь видно, что любая пара чисел , которая удовлетворяет первому уравнению системы (т.е. такая, что ) , не может удовлетворять второму уравнению, так как . Поэтому нет такой пары чисел , которая одновременно удовлетворяла бы оба уравнения системы. Поэтому решений у этой системы нет.

Рассмотрим один частный вид системы (6). Если в ней числа , то система (6) наз. однородной. Однородная система всегда совместна, так как всегда имеет решение .

По системе (6) можно формально построить соответствующие ей следующие матрицы (которые имеют свои названия):

– матрица коэффициентов, – столбец неизвестных, – столбец правых частей, – расширенная матрица системы. Матрица коэффициентов называется также основной матрицей системы (6).

С помощью этих матриц система (6) может быть записана в компактной матричной форме:

(7) .

В этом легко убедиться, расписав поэлементно произведение матриц в (7) − получим в точности систему (6). Поэтому задача решения системы (6) эквивалентна поиску неизвестной матрицы-столбца , удовлетворяющей матричному уравнению (7).

Случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных ( m = n )

В этом важном частном случае система (6) принимает вид :

(8)

Для поиска решения снова представим эту систему в матричной форме (см. (7)):

(8а) ,

где матрица коэффициентов, столбец неизвестных и правых частей имеют вид

, , .

Обозначим через Δ определитель матрицы коэффициентов А: . Этот определитель называется главным определителем системы (8). Допустим, что матрица не вырождена, т.е. . В этом случае, как указывалось выше, существует обратная матрица . Умножив слева (порядок при умножении матриц важен!) обе части матричного уравнения (8а) на , последовательно получим : . Можно показать, что полученное таким образом решение является единственным. Таким образом, справедлива следующая

Теорема. Система (8) имеет единственное решение (т.е. является определенной системой) тогда и только тогда, когда определитель матрицы коэффициентов . В этом случае решение (8) может быть получено по формуле

(8б) .

Отыскание решения системы по формуле (8б) носит название матричного метода решения систем. Он предполагает вычисление обратной матрицы для матрицы коэффициентов.

Пример. Решить матричным методом систему .

Решение. В данном примере (да и вообще, когда система невысокого порядка) неизвестные обозначены не одной буквой x с различными номерами внизу, а разными буквами, как это было принято в школе. Матрица коэффициентов, столбец неизвестных и правых частей для этой системы имеют вид , , . Для матрицы такого вида ранее (в параграфе «Обратная матрица») была построена обратная к ней матрица . Поэтому по формуле (8б) последовательно получаем

= = . Отсюда получаем следующее решение системы : , и .

Пример. Решить матричным методом систему .

Решение. Матрица коэффициентов, столбец неизвестных и правых частей для этой системы имеют вид , , . Построим обратную матрицу по формуле (5а), которая была выведена для матриц именно второго порядка. В нашем случае , . Тогда по формуле (8б) получаем: = = , а потому , .