Определители матриц

Для каждой квадратной матриц вводится важная ее числовая характеристика, называемая определителем этой матрицы. Правило, по которому по элементам данной квадратной матрицы произвольного порядка вычисляется ее определитель, достаточно сложно, поэтому будем давать это правило «постепенно», повышая порядок определителя. Пока же ограничимся таким неконструктивным определением.

Каждой квадратной матрице можно по некоторому (вот в чем неконструктивность!) правилу поставить в соответствие число, которое называется определителем данной матрицы. Для определителя квадратной матрицы A, общий вид которой дан в (2), применяются различные обозначения. Укажем наиболее употребительные: или развернутое, в котором перечисляются все элементы данной матрицы:

. Прямые черты, заменяющие круглые (матричные) скобки, указывают на то, что имеется в виду именно определитель матрицы, т.е. единственное число, а не сама матрица A.

Будем подбираться к строгому определению определителя, рассмотрев это правило последовательно для определителей матриц 1-го, 2-го и 3-го порядков.

Определителем матрицы 1-го порядка называется число, равное единственному имеющемуся у матрицы числу − матричному элементу этой матрицы. Определение настолько простое, что нет необходимости иллюстрировать его примером.

Определитель матрицы второго порядка.

Если , то по определению

Например, .

Рассмотрим определитель матрицы третьего порядка . Всё, что мы будем далее говорить для этой матрицы, справедливо и для квадратной матрицы любого порядка. Определение определителя матрицы содержит два новых понятия. Оказывается, для каждого элемента матрицы (а их всего 9) можно посчитать 2 числа, которые называются, соответственно, минором и алгебраическим дополнением этого элемента.

Минором элемента матрицы (обозначается ) называется значение определителя матрицы, получающейся из данной матрицы вычеркиванием строки и столбца, на пересечении которых стоит данный элемент (т.е. вычеркиванием i-ой строки и j-го столбца).

Алгебраическим дополнением элемента матрицы (обозначается ) называется число, определяемое по формуле

(3) .

Поскольку число (–1) в целой степени принимает всего два значения ( 1 – если показатель степени есть четное число и (–1) – если нечетное), то алгебраическое дополнение элемента матрицы либо ничем не отличается от минора этого элемента (если сумма его нижних индексов – т.е. сумма номеров строки и столбца – есть четное число) или отличается от минора только знаком (если сумма нижних индексов нечетна).

Пример. Найти миноры и алгебраические дополнения всех элементов матрицы

(4) А = .

Решение. Сначала ищем миноры всех элементов.

М₁₁= , М₁₂= , М₁₃= ,

М₂₁= , М₂₂= , М₂₃= ,

М₃₁= , М₃₂= , М₃₃= .

Учитывая формулу (3) и приведенные ниже пояснения для этой формулы, получаем следующие алгебраические дополнения

.

Для матрицы (4) для каждой строки (и столбца) проделаем: составим сумму попарных произведений ее (его) элементов на их алгебраические дополнения. Например, для второго столбца : . Взяв любой другой столбец (или строку), получим то же самое число (для данной матрицы это (– 4) ). Это общее свойство всех квадратных матриц − результат таких вычислений не зависит от того, какую строчку или столбец матрицы мы выбрали. Поэтому корректно следующее определение.

Определителем квадратной матрицы (любого порядка!) называется число, равное сумме попарных произведений элементов любой строки (столбца) на их алгебраические дополнения.

Поэтому для матрицы (4) по этому определению: D = .

Для вычисления определителя именно третьего порядка есть упрощенная (по сравнению с общим определением) формула

,

которая схематически (для запоминания) записывается так:

( + )

– первые три слагаемые (берутся со знаком +),

– последние 3 слагаемые (берутся со знаком −)

Пример. Найдем по упрощенной схеме определитель матрицы (4).

.

Как и следовало ожидать, результат получился тот же, что и ранее.

Для вычисления определителей матриц более высокого (чем третьего) порядка упрощенной схемы нет, поэтому используется только метод, данный в определении: выбирается строка или столбец матрицы и вычисляется сумма попарных произведений соответствующих элементов матрицы на их алгебраические дополнения. При этом вычисление алгебраических дополнений – самый хлопотный этап. Но поскольку строку (или столбец) можно выбирать произвольно (результат от этого не зависит), то проще выбрать ту, среди элементов которой как можно больше нулевых. При этом алгебраические дополнения нулевых элементов можно не считать, так как при составлении упомянутой выше суммы попарных произведений соответствующие слагаемые все равно обратятся в ноль.

Пример. Вычислить определитель 4-го порядка: .

Решение. Самое большое количество нулей в любой из строк или столбцов равно 2. Поэтому для вычисления определителя выбираем любую строку или столбец с двумя нулями. Выберем, например, первый столбец (при этом говорят, что определитель будет разлагаться по первому столбцу):

.

Появившиеся два определителя 3-го порядка можно считать по приведенной выше упрощенной схеме.

Если среди элементов матрицы нулей мало (или нет вовсе), то можно специальными действиями привести определитель к такому виду, у которого есть строка (или столбец), в которой отличен от нуля только один элемент. После этого определитель легко вычисляется разложением по этой строке (столбцу). Привести определитель к такому виду помогают свойства определителей, рассмотренные ниже.