Операции с матрицами

1. Сумма матриц: А + В.

Складывать можно только матрицы одного размера. При сложении двух матриц одного размера получается матрица того же размера, элементы которой равны сумме элементов слагаемых матриц, стоящих на соответствующих местах.

Пример.

Пусть , . Тогда

= + =

Аналогично определяется вычитание матриц:

= – = .

2. Умножение числа на матрицу.

При умножении числа на матрицу каждый ее элемент умножается на это число.

Пример.

, тогда .

Матричные уравнения

Это уравнения, в которых неизвестной является матрица.

Пример. Даны матрицы и . Найти матрицу , удовлетворяющую следующему матричному уравнению . Решение. Сначала рассматриваем это уравнение как обычное числовое и находим формулу для . Затем действия, предписываемые этой формулой, выполняем по правилам действий с матрицами. Решая обычным способом уравнение , получаем . По правилу умножения числа на матрицу , по правилу вычитания матриц . Наконец, по правилу умножения числа на матрицу неизвестная матрица .

3. Умножение матриц :

Далеко не все матрицы можно перемножать. Матрицы A и B (порядок следования важен!) называются согласованными, если число столбцов матрицы A равно числу строк матрицы B. Таким образом, если порядок матрицы A равен m × p , то порядок согласованной с ней матрицы B должен быть равен p × n. Перемножать можно только согласованные матрицы (отметим, что квадратные матрицы одного порядка всегда согласованы). Произведением двух согласованных матриц A (размера m × p) и B (размера p × n ) называется матрица C (размера m × n) , элементы которой вычисляются по правилу: элемент матрицы С равен сумме попарных произведений элементов i-ой строки матрицы А и j-го столбца матрицы В:

Например, если требуется получить элемент , то нужно вторую строку матрицы "умножить" на первый столбец матрицы .

Рассмотрим конкретные матрицы , . Число столбцов матрицы и число строк матрицы равны 2, значит, A и B согласованы, причем матрица будет размера . Тогда по определению произведение этих матриц вычисляется следующим образом:

Найти в этом случае произведение невозможно, т.к. матрицы B и A не согласованы. Отсюда следует, что если две матрицы можно перемножить в одном порядке, то это не означает, что их можно перемножать в другом порядке. Можно показать, что в общем случае, даже когда произведения и определены, они далеко не всегда дают одну и ту же матрицу (даже размерности матриц и могут быть разными).

Пример. Пусть , . Тогда , а

(проверьте!). Таким образом . Это не значит, что вообще не существует двух таких матриц А и В, для которых . Если для пары матриц А и В это свойство все же выполняется, то такие матрицы называются перестановочными (или коммутативными). Например, коммутативными будут матрицы А = и В = . Легко перемножением в том и обратном порядке убедиться, что . Отметим, что квадратные матрицы можно перемножать только если они одного порядка. Можно указать одну особенную матрицу, которая перестановочна с любой квадратной матрицей (соответствующего порядка). Это введенная выше единичная матрица. Легко в общем виде показать, что для любой квадратной матрицы А имеет место:

А·Е = Е·А = А .

Пример (практический, использующий умножение матриц). В таблице указано количество единиц продукции, отгружаемой ежедневно на молокозаводах 1 и 2 в магазины М₁, М₂ и М₃, причем доставка единицы продукции с каждого молокозавода в магазин М₁ стоит 50 денежных единиц, в магазин М₂ − 70, а в М₃ − 130 денежных единиц. Требуется найти ежедневные транспортные расходы каждого завода.

Молокозавод	Магазин
	М 1	М 2	М 3
1	20	35	10
2	15	27	8

Решение. Обозначим через А матрицу, составленную в соответствии с данной таблицей, а через В − матрицу-столбец, характеризующую стоимость доставки единицы продукции в магазины, т.е., , . Построим (пока чисто формально) произведение этих матриц − матрицу А·В: . По смыслу выполненных только что действий легко понять, что в данном случае произведение матриц А·В представляет собой матрицу затрат на перевозки. Итак, первый завод ежедневно тратит на перевозки 4750 денежных единиц, второй 3680 денежных единиц.

Пример. Даны матрицы и . Найти матрицу .

Решение. Найдем сначала матрицу . По определению умножения матриц . Далее, . По определению умножения числа на матрицу: . Окончательно, по определению разности матриц: .