Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве

Пусть дана плоскость и прямая в пространстве. Для определения угла между ними нам понадобится знание координат нормального вектора плоскости и направляющего вектора прямой. Напомним, что если плоскость задана, например, своим общим уравнением , то координаты нормального вектора есть коэффициенты при , и в этом уравнении: . Что касается направляющего вектора , то если прямая задана каноническими или параметрическими уравнениями, то координаты направляющего вектора непосредственно фигурируют в этих уравнениях на соответствующих местах. Если же прямая задана общими уравнениями, то и для этого случая в предыдущем параграфе обозначена схема поиска координат направляющего вектора (см. пример 2 и текст перед ним). Поэтому будем считать, что и координаты направляющего вектора прямой нам тоже в этом случае известны.

Н апомним (из школьного курса), что углом между прямой и плоскостью называется угол (снова острый или, в крайнем случае, ) между прямой и проекцией этой прямой на плоскость . На рисунке это угол . Кроме того, на рисунке от точки пересечения прямой и плоскости отложен нормальный вектор плоскости и направляющий вектор прямой . Из рисунка видно, что если угол между векторами и острый, то нужный нам угол . Тогда по формулам приведения . Но для определения косинуса угла между векторами по координатам самих векторов имеется формула (11) в параграфе «Скалярное произведение векторов». По этой формуле . Таким образом, получаем, что если задана плоскость с нормальным вектором и прямая с направляющим вектором , то синус угла между прямой и плоскостью вычисляется по формуле :

(1) .

Знак модуля в числителе учитывает и тот случай, когда угол между векторами и тупой.

Выведем условия параллельности и перпендикулярности плоскости и прямой . Из приведенного рисунка видно, что :

а ) прямая и плоскость параллельны тогда и только тогда, когда перпендикулярны нормальный вектор и направляющий вектор ; б) прямая и плоскость перпендикулярны только тогда, когда параллельны нормальный вектор и направляющий вектор . Используя известные условия параллельности и перпендикулярности векторов (см. формулу (7) параграфа «Свойства координат вектора», а также свойство 5 и формулу (10) параграфа «Скалярное произведение векторов»), получаем следующие критерии параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости:

(2) || ,

(3) || .

Пример 1. При каком значении р прямая параллельна плоскости .

Решение. По критерию (2) данная прямая и плоскость параллельны только в случае выполнения равенства , т.е. . Отсюда .

Пример 2. Найти угол , который составляет прямая с координатной плоскостью .

Решение. По формуле (1) для определения угла между прямой и плоскостью нужно знать координаты какого-либо направляющего вектора прямой и координаты какого-либо нормального вектора плоскости . Как известно, знаменатели канонического уравнения заданной прямой и образуют координаты ее направляющего вектора. Поэтому в формуле (1) . Найдем координаты какого-либо нормального вектора координатной плоскости , т.е. вектора, ей перпендикулярного. Ясно, что таковым является, например, вектор длины 1, отложенный от начала координат вдоль оси . Очевидно, этот вектор имеет координаты , а потому в формуле (1) можно положить . Подставляя полученные данные в (1), получаем:

. Такой синус соответствует только одному острому углу, а потому .

Пример 3. Найти координаты точки пересечения прямой с уравнением и плоскости с уравнением .

Решение. Уравнения прямой даны в канонической форме, а для решения задачи нам удобно перейти к ее параметрическим уравнениям. Глядя на канонические уравнения прямой (с учетом общего вида этих уравнений (2) в предыдущем параграфе), получаем координаты лежащей на этой прямой точки и координаты ее направляющего вектора . По этим данным и формуле (4) предыдущего параграфа записываем уравнения прямой в параметрической форме:

(4) .

При каждом числовом значении параметра эти формулы дают координаты точки на прямой . Найдем значение этого параметра , при котором соответствующая точка прямой будет лежать и на данной плоскости (при этом значении точка с координатами, вычисленными по (4), и будет точкой пересечения прямой с плоскостью). Для этого нужно найти, при каком значении координаты точки в (4) будут удовлетворять уравнению данной плоскости . Подставляя выражения (4) в это уравнение, получим: . Раскрывая скобки, получаем , откуда . Таким образом, при соотношения (4) дают координаты точки пересечения прямой и плоскости. Подставляя в эти соотношения, получаем координаты точки пересечения прямой и плоскости: .