Уравнение поверхности в пространстве

Уравнение поверхности в пространстве введем аналогично тому, как мы раньше ввели понятие уравнения линии на плоскости. Пусть в пространстве имеется некоторая поверхность (см. рисунок). Поверхность – достаточно сложный геометрический объект, исследование которого геометрическими методами достаточно затруднительно. Попробуем снова задавать положение и форму поверхности некоторыми алгебраическими соотношениями, как это было сделано для кривых на плоскости. Сделаем пространство координатным, введя в нем три взаимно перпендикулярные числовые оси. После этого положение каждой точки пространства полностью определяется тремя числами , и − координатами этой точки. Снова (как это было в случае кривой на плоскости) попытаемся для данной поверхности найти две такие формулы и от переменных , и , которые давали бы одинаковые числа при подстановке в них координат только тех точек, которые лежат на данной поверхности . Если это удастся, то соответствующее соотношение назовем уравнением поверхности .

Выражение вида называется уравнением поверхности , если координаты любой точки, лежащей на ней, при подстановке в это выражение превращают его в верное числовое равенство, а не лежащей – не превращают.

Исследуем вид уравнений поверхностей различной формы, начиная с простейшей.

Уравнение плоскости

Пусть в координатном пространстве расположена плоскость . Найдем вид уравнения этой плоскости. Ясно, что уравнение данной плоскости должно в качестве параметров содержать величины, характеризующие положение этой плоскости в пространстве. Какие же параметры однозначно характеризуют положение плоскости? По-видимому, надо знать положение (т.е. координаты) хотя бы одной точки плоскости. Пусть известно, что точка принадлежит плоскости. Достаточно ли этой информации для однозначного определения положения плоскости? Очевидно, нет, так как через одну точку можно провести бесконечно много плоскостей. Поэтому, кроме координат некоторой точки на плоскости необходима дополнительная информация. Таковой может быть задание координат любого вектора, который перпендикулярен данной плоскости. Точка плоскости и вектор, ей перпендикулярный, однозначно определяют положение плоскости в пространстве. Итак, пусть известно, что точка лежит на плоскости , а вектор перпендикулярен этой плоскости (такой в ектор называется нормальным вектором плоскости). Попробуем по этим данным установить, какой вид может иметь уравнение такой плоскости. Пусть − произвольная точка плоскости. Выясним, какому условию должны удовлетворять координаты этой точки, чтобы она принадлежала плоскости. Из рисунка видно, что необходимым и достаточным условием для этого является перпендикулярность векторов и (из координат конечной точки вектора вычтены координаты начальной его точки). Условием перпендикулярности векторов является равенство нулю их скалярного произведения: . Вспоминая формулу, выражающую величину скалярного произведения через координаты перемножаемых векторов, получаем соотношение :

(1) .

Это и есть уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Пример 1. Даны точки . Написать уравнение плоскости, проходящей через точку и перпендикулярной вектору .

Решение. Чтобы составить уравнение плоскости (1), необходимо узнать координаты хотя бы одной точки плоскости и координаты хотя бы одного нормального вектора (вектора, перпендикулярного плоскости). С точкой проблем нет, по условию нам даны координаты сразу двух точек плоскости. Возьмем в качестве такой точки, например, точку . Тогда в уравнение (1) будут подставлены числа . В качестве нормального вектора по условию может быть взят вектор , координаты которого можно вычислить по известным координатам точек и : . Поэтому в уравнение (1) надо подставить числа . Подставляя найденные параметры в (1), получаем уравнение искомой плоскости : . Это уравнение можно упростить, раскрывая скобки и приводя подобные. После этого получается более компактное уравнение: .

Если, точно так же, как в предыдущем примере, раскрыть скобки в уравнении (1), то получим: . Обозначая число в скобках буквой , получим, что уравнение любой плоскости может быть записано в виде:

(2) .

Это уравнение называется общим уравнением плоскости .

По уравнению плоскости вида (1) можно восстановить как координаты ее нормального вектора и , так и координаты и точки, лежащей на плоскости. В отличие от уравнения (1), общее уравнение (2) не содержит информации о координатах какой-либо точки, лежащей на плоскости. Однако (что важно) в этом уравнении сохраняется информация о координатах нормального вектора плоскости − это как раз коэффициенты при и в этом уравнении. Отсюда, в частности, следует, что если в общем уравнении плоскости отсутствует, например, (т.е. ), то плоскость параллельна оси (или содержит ее), поскольку перпендикулярный ей вектор расположен, очевидно, в координатной плоскости , а потому всякая перпендикулярная ему плоскость окажется параллельной оси . Например, плоскость с уравнением параллельна оси . Аналогичное замечание справедливо при отсутствии в уравнении других переменных: если в общем уравнении конкретной плоскости отсутствует , то плоскость параллельна оси , а если отсутствует , то оси . Если же в общем уравнении плоскости (2) отсутствует число (т.е. , а уравнение имеет вид ), то такая плоскость обязана проходить через начало координат, так как координаты точки , очевидно, удовлетворяют такому уравнению.

Написанное выше уравнение (1) позволяет выписать уравнение плоскости, если известна какая-либо точка этой плоскости и какой-либо вектор, ортогональный плоскости (нормальный вектор плоскости). Однако встречаются задачи, где требуется получить уравнение плоскости, если известна ее точка и два неколлинеарных (т.е. не параллельных) вектора и , лежащих в этой плоскости. В этом случае легко понять, что в качестве нормального вектора можно взять векторное произведение этих векторов , поскольку по определению векторного произведения вектор будет перпендикулярен каждому из векторов и , а потому будет действительно перпендикулярен всей плоскости (вспомним теорему стереометрии: если прямая перпендикулярна двум непараллельным прямым некоторой плоскости, то она перпендикулярна всей плоскости).

И сходя из этого, можно, например, написать уравнение плоскости, проходящей через любые 3 заданные точки (коими ее положение, как известно, определяется однозначно).

Пример 2. Написать уравнение плоскости , проходящей через точки и (см. рисунок).

Решение. В качестве упомянутых выше векторов (которые должны принадлежать искомой плоскости) можно, очевидно, взять , . Зная координаты начальных и конечных точек этих векторов, найдем координаты самих векторов: , . Как сказано выше, в качестве нормального вектора искомой плоскости можно взять вектор . Зная координаты векторов и , найдем координаты вектора − их векторного произведения (по формуле (14) параграфа «Векторное произведение векторов»):

,

А потому . Таким образом, мы знаем координаты нормального вектора искомой плоскости и координаты точки на этой плоскости (в качестве таковой можно взять, например, точку ). Тогда по формуле (1) составляем уравнение плоскости: . Раскрывая скобки, получим общее уравнение искомой плоскости: .

Перейдем теперь к вопросу об угле межу плоскостями. Как известно, угол между плоскостями называется двугранным углом, а измеряется он соответствующим линейным углом двугранного угла. Точно так же, как и прямые, плоскости при пересечении образуют между собой два (смежных, т.е. в сумме ) угла: один острый, другой тупой (либо оба прямые). Договоримся понимать под углом между плоскостями именно острый (или прямой) угол между ними. Как сказано выше, общее уравнение плоскости (2) содержит информацию о координатах ее нормального вектора (это коэффициенты при и в этом уравнении). С другой стороны, именно взаиморасположение нормальных векторов двух плоскостей определяет взаиморасположение самих плоскостей. А именно, угол между плоскостями либо совпадает с углом между их нормальными векторами, либо является дополнением этого угла до (если угол между нормальными векторами тупой). Это видно из приведенного рисунка, где плоскости и взяты перпендикулярными плоскости листа (для наглядности и простоты рисунка). Равенство углов, изображенных на рисунке, следует из геометрической теоремы о том, что углы с взаимно перпендикулярными сторонами либо равны, либо в сумме составляют .

Теперь несложно понять, следующее. 1. Две плоскости параллельны, только если их нормальные векторы параллельны. 2. Две плоскости перпендикулярны, только если их нормальные векторы перпендикулярны. 3. Угол (двугранный) между двумя плоскостями численно равен углу между их нормальными векторами (либо в сумме составляют 180 градусов).

Пусть даны уравнения двух плоскостей

, .

Из уравнений получаем координаты их нормальных векторов и . Из сказанного выше следует, что вопрос о параллельности, перпендикулярности и угле между векторами сводится к аналогичному вопросу для их нормальных векторов. Поэтому полученные ранее условия параллельности и перпендикулярности векторов, а также формула угла между векторами позволяют сформулировать следующие утверждения для плоскостей.

(3) || ||

(4)

Если − (острый) угол между плоскостями, то

(5) .

Научимся теперь находить положение точки пересечения трех плоскостей. Если среди трех плоскостей нет параллельных друг другу, то они пересекаются хотя бы в одной точке. Пусть три плоскости заданы уравнениями , , . Требуется найти координаты и точки их пересечения . Поскольку эта точка лежит на каждой из плоскостей, то ее координаты и удовлетворяют уравнениям всех трех плоскостей. Получаем, что координаты и точки пересечения трех плоскостей с уравнениями , , есть решение следующей системы трех линейных уравнений с тремя неизвестными:

(6) .

Аналогично случаю прямой на плоскости выводится формула для расстояния от точки до плоскости с уравнением :

(7) .

Пример 3. Составить уравнение плоскости , проходящей через точку и параллельной плоскости с уравнением .

Решение. Для того, чтобы выписать уравнение плоскости вида (1), необходимо знать координаты какой-либо точки на искомой плоскости и координаты какого-либо нормального вектора этой плоскости. Точка у нас задана условием − это . Найдем нормальный вектор искомой плоскости. Поскольку плоскости и по условию параллельны, то, очевидно, любой вектор, перпендикулярный плоскости окажется перпендикулярным и плоскости . Другими словами, любой нормальный вектор плоскости является таковым и для искомой плоскости . Но координаты одного нормального вектора для плоскости могут быть взяты из уравнения этой плоскости: . Как сказано, этот же вектор может быть взят в качестве нормального вектора и искомой плоскости : . По координатам точки и нормального вектора по формуле (2) получаем уравнение искомой плоскости : или, раскрывая скобки и приводя подобные, .

Пример 4. Найти угол между плоскостями, заданными уравнениями и .

Решение. По формуле (5) для косинуса угла между этими плоскостями получаем : . По найденному значению косинуса можно по таблицам найти и сам угол : .

Пример 5. Найти угол между плоскостью и координатной плоскостью . Указание. В качестве нормального вектора координатной плоскости можно, очевидно, взять вектор длины 1, выходящий из начала координат вдоль оси (этот вектор ранее обозначался − один из трех единичных векторов осей координат).

П ример 6. Найти координаты вершины треугольной пирамиды , если боковые грани пирамиды расположены на плоскостях с уравнениями , , (см. рисунок).

Решение. Вершина есть, очевидно, точка пересечения плоскостей, на которых расположены боковые грани пирамиды. Поэтому по формуле (6) ее координаты есть решение системы . Перенося числа в правую часть, получаем следующую систему трех линейных уравнений с тремя неизвестными , и :

Эта система была уже решена ранее методом Крамера (в параграфе «Формулы Крамера») и получено следующее решение : , , . Поэтому координаты вершины .

Пример 7. Найти длину высоты треугольной пирамиды , если известны координаты вершины и координаты вершин при основании пирамиды: и (см. рисунок к предыдущей задаче).

Решение. Длина высоты пирамиды есть, очевидно, не что иное, как расстояние от вершины пирамиды до плоскости ее основания . В примере 2 мы уже нашли уравнение плоскости, содержащей точки и . Взглянув на результат этого примера, получим уравнение плоскости основания : . Таким образом, нужно найти расстояние от точки до плоскости с уравнением . На этот вопрос как раз и отвечает формула (7) для расстояния от точки до плоскости. По этой формуле получим:

.

Пример 8. При каком значении параметра плоскости с уравнениями и перпендикулярны?

Решение. Используя условие перпендикулярности плоскостей (4), получим, что данные плоскости будут перпендикулярны только в том случае, если выполнится условие . Упрощая это уравнение, получим , откуда .