Парабола
Параболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых расстояние до фиксированной точки этой плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой, лежащей в той же плоскости и называемой директрисой параболы.
Таким образом,
каждая парабола определяется положением
ее фокуса (точка
)
и директрисы (прямая
)
. Если положение этих объектов задано,
то парабола определяется однозначно.
Найдем уравнение
такой гиперболы, построив предварительно
«подходящую» систему координат. Из
фокуса
опустим
перпендикуляр на директрису
.
Обозначим через
длину этого перпендикуляра. Начало
координат
выберем на середине этого перпендикуляра,
ось
направим вдоль этого перпендикуляра
по направлению от директрисы к фокусу.
Ось
, естественно, направим перпендикулярно
оси
(см. рисунок). Тогда в этой системе
координат фокус имеет координаты
,
а директриса
параллельна оси у
и пересекает ось х
в точке, соответствующей числу
.
Выведем уравнение п
араболы
в этой «подходящей» системе координат.
Пусть
− произвольная точка, лежащая на
параболе. Найдем соотношение, которому
в этом случае должны подчиняться
координаты этой точки
и
. Проведем перпендикуляр
к директрисе. Поскольку точка
лежит
на параболе, то по определению расстояния
от нее до фокуса и директрисы – одинаковые,
т.е.
.
Найдем длины отрезков
и
(по известным координатам их конечных
точек) и приравняем. Из рисунка видно,
что точка
имеет координаты
,
а потому
.
Точно так же
.
Приравнивая, получаем уравнение параболы
=
.
Приведем это
уравнение к более простому виду, возведя
обе его части в квадрат, применяя затем
формулы квадрата суммы и разности и
приводя подобные:
=
,
=
.
После сокращений получаем:
(1)
.
Уравнение (1) называется каноническим уравнением гиперболы.
Э
то
уравнение помогает исследовать форму
параболы. Поскольку в уравнении (1) слева
стоит неотрицательная величина, то
такая же должна стоять и справа. Отсюда
следует, что
,
а потому этому уравнению могут
удовлетворять только точки, у которых
координата
.
Точки с такими координатами лежат правее
оси
,
а поэтому парабола расположена правее
оси
.
Поскольку координата
входит в квадрате в уравнение параболы
(1), то парабола симметрична относительно
оси
.
Это можно показать тем же способом,
которым мы ранее доказывали симметричность
эллипса относительно осей координат.
Поэтому опять можно исследовать форму
гиперболы и строить ее только в I
четверти, а
затем полученную кривую еще симметрично
отразить относительно оси
.
Выражая
из уравнения (1), легко получить, что в I
четверти парабола совпадает с графиком
функции
,
форма которого может быть исследована
методами дифференциального исчисления
(хотя функция так несложна, что ход ее
графика понятен и без применения
производной). Вид параболы изображен
на рисунке. Вершина
параболы −
точка пересечения оси симметрии (т.е.
оси
)
с параболой. Если поменять местами
переменные
и
,
то каноническое уравнение параболы
примет привычный «школьный» вид
. У такой параболы фокус расположен на
оси
,
а директриса параллельна оси
.
Пример 1.
Построить
параболу
.
Найти положение ее фокуса и уравнение
директрисы.
Решение. Сравнивая
уравнение данной гиперболы с ее
каноническим уравнением (1), выводим,
что
,
а потому расстояние между фокусом данной
параболы и ее фокусом
.
Координаты фокуса произвольной параболы
,
а потому для данной параболы :
.
Уравнение директрисы произвольной
параболы
.
Для данной параболы уравнение директрисы
.
Парабола так же, как и эллипс, обладает свойством, связанным с отражением света. Луч света, вышедший из фокуса , отразившись от параболы, дальше пойдет параллельно оси этой параболы. И наоборот, все лучи, приходящие из бесконечности и параллельные оси параболы, сойдутся в ее фокусе. Это свойство широко используется в технике. В прожекторах обычно ставят зеркало, поверхность которого получается при вращении параболы вокруг ее оси симметрии (параболическое зеркало). Источник света в прожекторах помещают в фокусе параболы. В результате прожектор дает пучок почти параллельных лучей света. Это же свойство используется и в приемных антеннах космической связи и в зеркалах телескопов, которые собирают поток параллельных лучей радиоволн или поток параллельных лучей света и концентрируют его в фокусе зеркала.