Гипербола

Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для каждой из которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек той же плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная, не равная 0 и меньшая расстояния между фокусами.   

Каждая гипербола характеризуется положением своих фокусов и тем числом, которому равен модуль (постоянной!) разности расстояний от точек эллипса до его фокусов. Так же, как и в случае эллипса, для получения уравнения гиперболы выберем подходящую систему координат. Пусть точки и на плоскости − фокусы эллипса, обозначим через половину расстояния между ними. Как и для эллипса, ось (фокальную ось) направим вдоль этого отрезка, начало системы координат расположим на середине отрезка , а ось − перпендикулярно к этому отрезку (см. рисунок). Это и будет подходящая система координат для данной гиперболы. Найдем ее уравнение в этой системе координат. Пусть − произвольная точка на гиперболе. Найдем соотношение, которому в этом случае должны удовлетворять координаты и этой точки. Обозначим буквой (постоянный!) модуль полуразности расстояний от произвольной точки до фокусов (из определения гиперболы следует, что ). Тогда тем же способом, что в случае эллипса, из определения гиперболы можно вывести, что ее уравнение в этой системе координат имеет вид

(1) ,

где новый параметр определен формулой

( 2) .

Под корнем в (2) опять число положительное, так как . Уравнение (1) называется каноническим уравнением гиперболы. Из этого уравнения (аналогично случаю эллипса) следует симметрия гиперболы относительно выбранных осей координат, а ее вид в первой четверти легко установить, выразив из (1) через :

(3) .

Часть гиперболы, заключенная в (1) четверти, есть график функции (3). Функция в (3), очевидно, определена и возрастает при , причем . Методами математического анализа легко также установить наличие так называемой асимптоты, т.е. прямой, к которой безгранично приближается (снизу, не пересекая) график функции (3) при безграничном удалении точки графика в бесконечность. Уравнение этой прямой : , поэтому она проходит через начало координат. Сказанное позволяет начертить график функции (3), который является частью гиперболы, заключенной в 1 четверти (см. рисунок).

Используя указанную выше симметричность гиперболы относительно осей координат, можно теперь восстановить форму всей гиперболы (см. рисунок). Пунктирными линиями о бозначены асимптоты гиперболы − прямые с уравнениями и , к которым безгранично примыкают ветви гиперболы Точки пересечения гиперболы, заданной каноническим уравнением, с фокальной осью называются вершинами гиперболы, отрезок между ними называется действительной осью гиперболы. Отрезок оси ординат между точками с координатами и называется мнимой осью. Числа и называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы. Начало координат называется ее центром.

Из сказанного следует следующий способ построения гиперболы по заданному ее каноническому уравнению (1). Прежде всего, из уравнения определяются числа и . Затем числа и наносятся на ось , а числа и наносятся на ось . Затем по этим точкам строится так называемый основной прямоугольник, который на рисунке изображен пунктиром. Затем проводятся диагонали этого прямоугольника и продолжаются за его границы – это асимптоты гиперболы. Затем рисуются ветви гиперболы, исходящие из ее вершин и приближающиеся к асимптотам.

Как видно из рисунка, форма гиперболы зависит от соотношения сторон и в основном прямоугольнике, т.е. от отношения . Если мало (близко к 0), то число мало по сравнению с числом . В этом случае основной прямоугольник вытянут вдоль фокальной оси Ох, а потому ветви гиперболы «прижаты» к этой оси. Если же велико (намного больше 1), то число мало по сравнению с числом . В этом случае основной прямоугольник вытянут вдоль оси Оу, а потому ветви гиперболы «прижаты» к этой оси. Однако, как и в случае эллипса, в качестве параметра, характеризующего форму гиперболы, берут не , а отношение , которое тесно связано с отношением .

Величина называется эксцентриситетом гиперболы и характеризует ее форму.   Точно так же, как это было сделано для эллипса, легко выразить через эксцентриситет : . Поскольку, как отмечалось выше, для гиперболы   > , то > 1. Из формулы видно, что чем ближе к 1, тем меньше отношение , а потому ветви гиперболы теснее прижимаются к фокальной оси . Если же   велико, то велико и отношение , ветви гиперболы далеко расходятся от оси . В отличие от эллипса, в каноническом уравнении гиперболы (1) соотношение между величинами и может быть произвольным. В частности, при мы получим равностороннюю гиперболу, известную из школьного курса математики. Ее уравнение примет знакомый вид , если взять , а систему координат выбрать не ту, которую выбрали ранее (подходящую), а оси координат направить по ее асимптотам (т.е. по биссектрисам четвертого и первого координатных углов первоначальной подходящей системы координат − см. рисунок).

Пример. Построить гиперболу , найти ее фокусы и эксцентриситет.

Решение. Приведем исходное уравнение к каноническому уравнению гиперболы , разделив обе его части на 4. Получим . Таким образом, получаем каноническое уравнение гиперболы с полуосями а=1 и b=2. Определяем . Поэтому координаты фокусов . Эксцентриситет .

О тметим, что если уравнение кривой имеет вид , то это тоже уравнение гиперболы, у которой действительная и мнимая ось меняются местами (фокусы, в частности, расположены на оси ), а потому ветви гиперболы вытянуты вдоль оси . Например, гипербола с уравнением имеет вид как на рисунке.