Скалярное произведение векторов

П усть даны векторы и , угол между которыми обозначим буквой (см. рисунок) . Их скалярным произведением (обозначается или ) называется число, равное произведению длин этих векторов и косинуса угла между ними :

(8) .

Рассмотрим свойства скалярного произведения .

1. Перестановочность (коммутативность) : . Это свойство следует сразу из определения скалярного произведения (8).

2. Раскрытие скобок: .

3. Пусть − число , тогда . Эти три свойства позволяют проводить преобразования векторных выражений точно также, как числовых (выносить за скобки множитель, раскрывать скобки, переставлять местами сомножители и т.п. ) . 4. Скалярный квадрат вектора : .

Доказательство сразу следует из определения (8), если учесть, что сам с собой вектор составляет угол в , а . Это свойство, читаемое как в приведенном порядке, так и в обратном порядке ( ) часто используется в задач нахождения длины вектора, являющегося комбинацией других векторов (пример будет ниже).

5. Векторы и перпендикулярны только если . Доказательство сразу следует из определения (8), если учесть, что угол между перпендикулярными векторами составляет , а . Это свойство используется в задачах, когда необходимо проверить перпендикулярность (или отсутствие таковой) векторов.

Пример 1. Найти скалярные произведения друг с другом единичных векторов осей координат и .

Решение. Поскольку эти векторы перпендикулярны друг другу (они находятся на взаимно перпендикулярных координатных осях) и имеют длину 1, то из свойств 4 и 5 получаем:

(9) , .

Свойство 4 помогает узнать, перпендикулярны ли данные векторы или нет. Для такой проверки это свойство предлагает найти скалярное произведение векторов и посмотреть, будет оно равно нулю или нет. Но для вычисления скалярного произведения у нас есть только определение (8), которое для вычисления скалярного произведения векторов требует знать, какой угол между ними. Получился замкнутый круг: мы хотим выяснить, равен ли угол между векторами (т.е. перпендикулярны ли они), а для этого нам нужно знать, чему равен угол между векторами. Но если бы мы его знали, то мы бы сразу могли сказать, равен ли он или нет. Выйти из такого круга помогает следующее свойство, которое предлагает другой (чаще гораздо более удобный) способ вычисления скалярного произведения векторов, отличный от формулы (8). Ранее при использовании различных векторных комбинаций мы уже убеждались, что значительное облегчение вносит использование координат вектора, которые не только полностью определяют все характеристики самих векторов , но и значительно облегчают строить различные комбинации векторов, сводя все операции, содержащиеся в этой комбинации, к более простым операциям над числами. Вычисление скалярного произведения векторов тоже может быть выполнено с использованием их координат, что чаще всего сделать проще, чем по формуле (8).

6. Выражение скалярного произведения через координаты векторов: если , , то

(10) .

Для доказательства (10) вспомним, что координаты вектора есть коэффициенты в разложении вектора по единичным векторам осей координат (была такая теорема в параграфе «Координаты вектора»), а потому если , , то , а . Тогда раскрывая обычным образом скобки (что делать можно) в выражении и используя полученные выше формулы (9), приходим к доказываемому равенству. Формула (10) очень часто используется при решении различных задач. С помощью формулы (10) можно вычислять скалярные произведения векторов по их координатам. Если оно получилось равным нулю, то векторы перпендикулярны. А если нет, то нет. Каков же тогда угол между векторами?

7 . Угол между векторами и может быть вычислен по формуле :

(11) .

Это свойство сразу следует из определения скалярного произведения (8) (если, конечно, не полениться на него взглянуть). До появления формулы (10) считать углы между векторами по формуле (11) не имело смысла, так как если при вычислении скалярного произведения в правой части этой формулы использовать определение (8), то требуется знать угол между векторами, а нам как раз и надо его найти.

Рассмотрим примеры на использование приведенных свойств скалярного произведения векторов.

Пример 2. Даны точки в пространстве : . Найти скалярное произведение .

Решение. Для вычисления скалярного произведения по формуле (10) нужно знать координаты векторов и . Их найдем по формуле (4), зная координаты начальных и конечных точек этих векторов: , . Тогда по формуле (10) получаем .

Пример 3. Даны векторы . Найти значение , при котором векторы перпендикулярны.

Решение. По критерию перпендикулярности векторов (свойство 5) требуется найти такое значение , при котором . С другой стороны, по формуле (10) получаем . Тогда из уравнения , получаем .

Пример 4. Найти угол между векторами и .

Решение. Для того, чтобы воспользоваться формулой (11) для косинуса угла между векторами, нежно узнать длины векторов и , а также их скалярное произведение. И то и другое можно вычислить, если известны координаты этих векторов. Поэтому начнем с их поиска. Поскольку координаты вектора являются одновременно и коэффициентами в разложении этого вектора по единичным векторам осей координат , и (уже упоминалась такая теорема в параграфе «Координаты вектора»), то поскольку и , то , а . По формуле (1) предыдущего параграфа находим длины векторов по их координатам: , . По формуле (10) находим : . Наконец, по формуле (11) находим . Поскольку такое значение косинуса нам знакомо (должно быть) и соответствует углу , то угол между векторами .

Замечание. Если отложить векторы и (по найденным их координатам), то видно, что они пойдут по биссектрисам координатных углов хОу и yOz. Таким образом мы получили, что угол между биссектрисами координатных углов равен .

Пример 5. Даны длины векторов и и угол между ними : , . Вектор . Найти − длину вектора .

Решение. Данные задачи относятся к векторам и , поэтому желательно выразить длину вектора через эти данные. Далее, по свойству 4: {раскрываем скобки} ={используем свойства 4 и 1} {используем данные задачи и формулу (8)} . Итак, , а потому .