Свойства координат вектора

Пусть известны координаты вектора и : , .

1. Длина вектора определяется по его координатам по следующей формуле :

(1)

2. Координаты суммы (разности) векторов получаются сложением (вычитанием) соответствующих координат:

(2)

3. При умножении числа на вектор каждая координата умножается на это число:

(3)

Пример. Даны векторы . Найти длину и координаты вектора . Решение. По формуле (3) : . По формуле (2) : . Наконец, по формуле (1) : .

Как видно из предыдущих свойств и приведенного примера, координаты вектора значительно облегчают операции с ними, позволяя заменить громоздкие геометрические построения обычными действиями с числами. Как же найти координаты вектора? Пока для этого у нас есть только определение. Согласно ему для вычисления координат вектора нужно проделать следующие операции: а) перенести вектор из исходного его положения в начало координат, б) определить координаты конечной точки получившегося вектора. Обе эти операции геометрические, а потому требуют каких-то геометрических построений. Нельзя ли при вычислении координат вектора обойтись без переноса его куда-либо, а использовать исходное положение вектора? Понятно, что можно, иначе этот вопрос даже не озвучивался бы. Но для этого надо знать исходное положение вектора, т.е. положение его начальной и конечной точки. Положение точки определяется ее координатами. Поэтому следующее свойство позволяет по известным координатам начальной и конечной точки вектора находить координаты его самого без тех хлопот, которые предписывает нахождение координат вектора по их определению.

4. Если известны координаты начальной и конечной точек вектора , то координаты самого вектора вычисляются по формуле:

(4)

Эти свойства позволяют находить расстояние между точками в пространстве, если определено положение этих точек.

Следствие. Расстояние между двумя точками :

(5) .

Эта формула легко доказывается, если учесть, что , также формулы (4) и (1).

Первое свойство определяет модуль вектора по его координатам, хотя было обещано, что координаты определяют однозначно все характеристики вектора. Кроме длины, вектор характеризуется и определенным направлением в пространстве. Как же по координатам вектора найти его направление? Для этого нужно сначала договориться, какими величинами может быть определено направление вектора. В качестве таковых могут быть выбраны углы и , которые вектор (отложенный от начала координат) составляет с осями координат (см. рисунок). По координатам вектора определяются не сами углы и , а их косинусы, которые называются направляющими косинусами вектора. По известным косинусам при необходимости можно найти и сами углы, используя соответствующие таблицы или калькулятор. Следующее свойство позволяет по координатам вектора найти его направляющие косинусы.

5. Если , то направляющие косинусы вектора вычисляются по его координатам по формулам:

(6) , , .

Из формулы (1) легко вывести, что для направляющих косинусов всегда выполняется соотношение: .

Пример. Даны точки . Найти длину и направляющие косинусы вектора .

Решение. Длина и направляющие косинусы вектора определяются по формулам (1) и (6), которые требуют знания координат вектора. Поэтому прежде всего найдем координаты вектора . Для начала по формуле (4) найдем координаты векторов и , поскольку известны координаты их конечных и начальных точек: , . Далее, по формуле (3) найдем координаты вектора . Наконец, по формуле (2) находим координаты искомого вектора . Теперь по формуле (1) длина вектора : . Теперь, зная координаты и длину вектора , по формулам (6) находим его направляющие косинусы: , , .

Как было объявлено выше, координаты должны определять однозначно не только характеристики самого вектора, но и определять взаимное расположение нескольких векторов. Выведем сейчас условие коллинеарности (т.е. параллельности) векторов через соотношения их координат. Пусть векторы и коллинеарны : || . В параграфе «Операции над векторами» приводилась теорема о том, что если , причем , то существует такое число , что . В этом случае по формуле (3) координаты вектора должны получаться из координат вектора умножением на число : . С другой стороны тот же вектор . Равные векторы имеют одинаковые координаты, а потому , и . Отсюда следует, что , и , а потому отношения координат коллинеарных векторов одинаковы. Отсюда следует

Критерий параллельности векторов. Векторы и коллинеарны только в том случае, если их координаты пропорциональны:

(7) .

Замечание. Если какие-либо координаты вектора равны нулю, то использование соотношений (7) затруднительно. В этом случае соотношения (7) надо понимать как пропорции, а потому вместо (7) лучше использовать вытекающие из (7) соотношения: , .

Пример. При каком значении параметра векторы и параллельны?

Решение. Для параллельности данных векторов по (7) должны выполняться следующие соотношения: . Ясно, что такие соотношения выполняются только при .

Мы прошли выше сложение и вычитание векторов, а также умножение числа на вектор. Есть еще одна операция − умножение векторов друг на друга. Даже два вида такого умножения. В зависимости от этого произведение векторов будет давать число либо вектор. Соответственно, первый вид умножения векторов называется их скалярным произведением, а другой − векторным произведением векторов. Оба эти произведения имеют многочисленные применения для решения различных задач.