Координаты вектора

При решении многих математических и практических задач в технических областях часто возникает потребность построения вектора, являющегося достаточно громоздкой комбинацией других векторов, которая включает их многократные сложения, вычитания и умножения на числа. Если выполнять эти операции по их определению, то придется строить соответствующие параллелограммы, треугольники, удлинять и укорачивать вектора, менять их направления и тому подобное. Это достаточно утомительно. Гораздо проще выполнять операции сложения, вычитания и умножения над числами. Нельзя ли заменить одно другим? Этот вопрос касается давней идеи − характеризовать геометрические объекты определенными аналитическими объектами (числами, формулами, алгебраическими выражениями и т.п.), после чего исследование свойств геометрических объектов достаточно громоздкими геометрическими методами можно заменить на определенные манипуляции с этими аналитическими объектами. Первый шаг в этом направлении был сделан, по-видимому, тогда, когда было введено понятие координат точек на плоскости и в пространстве. В этом случае простейший геометрический объект – точка – полностью характеризуется парой (в случае плоскости) или тройкой (в случае пространства) чисел, которые называются координатами этой точки. При этом положение точки однозначно определяет ее координаты и, наоборот, по координатам точки однозначно определяется ее положение. А поскольку единственной характеристикой точки является ее положение в пространстве, то можно сказать, координаты точки полностью ее определяют. Далее введем понятие координат вектора, которые помогут нам достаточно простыми методами исследовать свойства самих векторов и любых их комбинаций. Понятие координат вектора опирается на понятие координат точки, которое будем считать известным.

К оординатами вектора называются координаты конечной его точки, если сам вектор отложить от начала координат (см. рисунок). По этому определению для нахождения координат произвольного вектора необходимо отложить этот вектор от начала координат и определить координаты , и конечной точки получившегося вектора. Тогда эти числа , и будут координатами исходного вектора . Обозначение координат вектора: . Таким образом, выражение обозначает вектор с координатами , и .

В екторов, конечно же, существует бесчисленное множество. Однако их исследование облегчает тот замечательный факт, что существует тройка таких фиксированных векторов, что любой вектор может быть однозначно представлен в виде линейной комбинации этих трех векторов (под линейной комбинацией векторов понимается сумма этих векторов с какими-либо числовыми коэффициентами перед ними). Любая тройка векторов в пространстве, обладающая таким свойством, называется базисом в пространстве. В качестве такого базиса могут быть взяты, например, так называемые единичные векторы осей координат. Единичные векторы осей координат (орты) – векторы длины 1, направленные по осям координат и имеющие обозначение и (см. рисунок). Оказывается, что любой вектор действительно может быть представлен в виде линейной комбинации векторов и , причем в таком представлении в качестве числовых коэффициентов при и будут как раз координаты этого вектора. А именно, справедлива следующая

Теорема. Любой вектор единственным образом представляется в виде линейной комбинации ортов: . Обратно, если вектор представим в виде , то числа , и суть координаты вектора .

Пример. Найти координаты единичных векторов осей координат и .

Решение. Поскольку эти вектора уже отложены от начала координат, то остается определить координаты их конечных точек, которые (по определению) и будут координатами этих векторов. Глядя на рисунок выше, это несложно сделать: и .

Обозначение координат вектора буквами , и неудобно, если рассматриваются несколько векторов. Если вместе с вектором рассматривается, например, некоторый вектор , то для обозначения его координат надо вводить новые три буквы. Потом может возникнуть путаница − какие буквы относятся координатам какого вектора. Поэтому для удобства принято, что буква, обозначающая координаты вектора, совпадает с буквой, обозначающей сам вектор: , .

Оказывается, что координаты вектора полностью определяют все характеристики как самого вектора (длина, направление), так и характер взаимоотношений его с другими векторами (угол, параллельность, перпендикулярность и т.п. ) . Использование координат вектора значительно облегчает вычисление сложных комбинаций многих векторов, а также решение многих задач, связанных с векторами. Это основано на свойствах координат вектора, приводимых ниже.