Операции над векторами

1. Сумма векторов. Если даны два вектора и , то можно по некоторому правилу построить для них другой вектор, который будет называться суммой этих векторов и обозначаться + . Существуют два правила построения суммы векторов − правило треугольника и правило параллелограмма.

1) Правило параллел ограмма. Даны два вектора и (на рисунке слева).

Для построения вектора-суммы + по правилу параллелограмма необходимо от произвольной точки пространства отложить сначала один из векторов, а затем и второй вектор (возможность отложить от любой точки вектор, равный данному, обсуждена выше). Затем дополнить полученную конструкцию до параллелограмма и провести вектор от выбранной точки до противоположной вершины параллелограмма. Этот вектор и будет по определению вектором + (см. рисунок).

2) Правило треугольника. Сложим теперь эти два вектора по правилу треугольника.

Для сложения векторов и (на рисунке слева) по правилу треугольника необходимо от произвольной точки пространства отложить один из складываемых векторов (на рисунке это вектор ), затем от конечной точки построенного вектора отложить второй вектор (вектор ). Затем соединить начало первого построенного вектора с концом второго. Полученный вектор тоже будет считаться вектором + .

Если мы построим вектор + сначала по правилу параллелограмма, а потом по правилу треугольника, то получим, естественно, один и тот же вектор (точнее, два равных вектора – они будут сонаправлены и иметь одну и ту же длину). Какое из правил сложения векторов использовать – зависит от существа задачи. В некоторых задачах удобно использовать правило параллелограмма (например, если векторы изначально отложены от одной точки). В других задачах удобно использовать правило треугольника. Правило треугольника особенно удобно применять в случае, когда необходимо сложить более чем два вектора. Для сложения нескольких векторов от любой точки откладываем первый вектор, затем от конца полученного вектора откладываем второй вектор и так далее до последнего слагаемого вектора. Затем из начала первого вектора проводим вектор к концу последнего вектора. Полученный вектор и есть сумма всех векторов.

2 . Разность векторов: − . Правило построения вектора − следующее. ­ Из одной точки откладываются оба вектора, тогда вектор разности соединяет конечные точки этих векторов и направлен в сторону вектора, из которого вычитают.

3. Умножение числа на вектор. Пусть - число, – вектор. Определим новый вектор (обозначим его ), который будем называть произведением числа на вектор : . Для того, чтобы полностью определить вектор, достаточно указать его длину (модуль) и направление. Определим эти характеристики для вектора : а) б) если > 0, то , а если < 0, то иначе .

П ример. Дан вектор

П остроить векторы и . Решение. Надо воспользоваться приведенным выше правилом построения вектора сначала для случая , а затем . Найдем длину и направление вектора . Так как в этом случае , то . Поскольку число положительное, то . Таким образом, вектор в 2 раза длиннее вектора и сонаправлен с ним. В случае вектора число , поэтому . Поскольку число отрицательное, то . Таким образом, вектор противоположно направлен вектору и в 2 раза его короче. Этих данных вполне достаточно, чтобы построить векторы и :

Как видно из определения, при умножении произвольного ненулевого вектора на различные числа все время будут получаться векторы, параллельные вектору . Если умножить вектор на все числа, то исчерпаются ли при этом все векторы, параллельные вектору ? Или же существует такой вектор , параллельный вектору , который не получается из вектора умножением на какое-либо число? Оказывается, что ответ на первый вопрос положителен (а потому на второй – отрицателен) – умножая вектор на всевозможные числа мы исчерпаем все векторы, ему параллельные. Это утверждает следующая

Теорема. Если , причем , то существует такое число , что .

Это утверждение часто используется в задачах следующего типа. Требуется найти вектор , параллельный заданному вектору и удовлетворяющий некоторым дополнительным условиям. Тогда понятно, что искомый вектор надо искать в виде , после чего из дополнительных условий останется найти только одно число .

Вектор наз. противоположным вектору , если . Противоположный вектор обозначается : . Для получения противоположного вектора нужно поменять местами начальную и конечную точки вектора: . Действительно, сложив векторы и , например, по правилу треугольника, получим . Выполнено естественное равенство: . Действительно, легко по определению проверить, что умножение числа на вектор тоже сводится к смене местами начальной и конечной точки вектора.

Свойства операций над векторами

1. Коммутативность сложения : .

2. Ассоциативность сложения: .

3. 

4. 

5. 

Эти свойства очень похожи на свойства одноименных операций над числами. Первое свойство говорит о том, что векторы можно складывать в любом порядке – будет получаться один и тот же вектор (точнее, два равных вектора – сонаправленные и одной длины). Второе свойство говорит о том, что три вектора можно складывать в любой последовательности. Последние два свойства говорят о том, что при действии с векторами можно раскрывать скобки (или выносить за скобки, если свойство читать справа налево) обычным образом. Эти свойства помогают преобразовывать сложные выражения с векторами механически по привычным правилам (вынесение за скобки, приведение подобных и т.д. ) .

Пример. В даны векторы и . Выразить через них векторы , , , где − середина стороны .

Решение. Вектор соединяет концы векторов и , исходящих из одной и той же точки . Тогда по определению разности векторов вектор есть разность этих векторов, причем вычитание проводится из вектора : . Поскольку вектор сонаправлен с вектором , но короче его в 2 раза ( − середина ), то = . По правилу треугольника .