Собственные значения и собственные векторы квадратных матриц
Число
называется собственным значением
квадратной матрицы
,
если существует такой ненулевой n-мерный
вектор (т.е. матрица с одним столбцом,
не все элементы которой равны нулю)
,
что выполнено:
.
При этом указанный вектор Х называется
собственным вектором матрицы А,
отвечающим собственному значению
.
Приведенное выше
матричное равенство
может быть расписано поэлементно в виде
:
. Перенося правые части уравнений в
левые части, получим следующую однородную
систему уравнений:
(13)
.
Наличие ненулевого решения Х матричного уравнения означает наличие ненулевого решения у однородной системы (13). По Утверждению 2 предыдущего параграфа наличие ненулевого решения однородной системы возможно только в случае, если основной определитель системы равен 0. Таким образом, число является собственным значением матрицы А только в том случае, если при этом обращается в 0 основной определитель системы (13). Тем самым доказана следующая
Теорема. Собственные значения матрицы суть корни уравнения
(14)
.
Если раскрыть этот определитель по правилу вычисления определителей, то получится многочлен степени n относительно . Этот многочлен называется характеристическим многочленом матрицы А. Таким образом, собственные значения матрицы являются корнями ее характеристического многочлена.
Пример. Найти
собственные значения матриц:
Решение:
а)
,
откуда
.
б)
,
откуда
.
Раздел III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия Векторы
Все величины, встречающиеся на практике, можно разбить на два класса − скалярные и векторные. Скалярные величины полностью характеризуются задающим их числом (объем, масса, температура, количество студентов в данном ВУЗе, …). Векторные величины характеризуются не только своим численным значением, но и выделенным направлением своего действия (скорость, ускорение, сила…) .
Вектор
– направленный отрезок, у которого
обозначены начальная и конечная точки.
Обозначение
вектора:
либо записываются буквы, которыми
обозначены начальная и конечная точки
вектора, со стрелкой вверху, либо одной
буквой со стрелкой, либо одной буквой
жирным шрифтом без стрелки: a,
,
. На рисунке
изображены некоторые векторы вместе с
их обозначением. Векторы, естественно,
нарисованы в плоскости страницы, но в
принципе их начальные и конечные точки
могут располагаться в любом месте
трехмерного пространства.
Одной из характеристик
вектора является его длина. Д
линой
(или модулем)
вектора
называется длина отрезка АВ.
Обозначение длины вектора: |
|, |a|,
.
Векторы
и
называются коллинеарными
(или параллельными),
если они расположены на параллельных
прямых или на одной прямой. Обозначение
коллинеарности векторов:
||
.
На рисунке ниже изображены несколько
пар коллинеарных векторов:
||
,
||
,
||
.
Как видно, некоторые
пары коллинеарных векторов направлены
в одну сторону, а некоторые − в разные
стороны. Коллинеарные векторы
и
называются сонаправленными
(обозначение:
) ,
если они направлены в одну сторону, и
противоположно
направленными
(обозначение:
), если в разные стороны. Для рисунка
выше получаем:
,
,
.
Векторы называются компланарными,
если они параллельны одной и той же
плоскости.
Перейдем теперь
к понятию равенства двух векторов. Есть
несколько различных определений
равенства векторов, которые приводят
к различным теориям векторов. В зависимости
от существа задачи применяются векторы
того или иного типа. В теории так
называемых жестких векторов два вектора
считаются равными, если они совпадают
полностью, т.е. если у них совпадают
начальные и конечные точки. В теории
скользящих векторов можно сдвигать
вектор вдоль прямой, на которой он лежит
– будут получаться равные векторы.
Таким образом, в теории скользящих
векторов два вектора будут равными,
если они расположены на одной прямой,
направлены в одну сторону и имеют
одинаковую длину. Например, если груз
тянут рукой за привязанную к нему веревку
с некоторой силой, направленной вдоль
веревки, то характер движения не
изменится, если перехватить веревку в
другом месте, не меняя величину и
направление приложенной силы. Поэтому
в этой задаче может быть использована
теория скользящих векторов. Мы будем
изучать теорию так называемых «свободных»
векторов, в которой при переносе вектора
параллельно самому себе в любое место
пространства будут получаться векторы,
равные исходному. При таком переносе
сохраняется только длина и направление
вектора. Поэтому примем следующее
определение. Два вектора называются
равными,
если они сонаправлены и имеют одинаковую
длину. В символьном виде это можно
записать так:
.
Из такого определения равенства векторов
следует важный вывод, который в дальнейшем
будем использовать.
Следствие. От любой точки пространства можно отложить вектор, равный данному вектору. Действительно, если дан некоторый вектор (на нижнем рисунке слева), то, взяв произвольную точку М в пространстве, можно через нее провести прямую, параллельную вектору , затем от этой точки вдоль этой прямой отложить вектор той же длины, что и у исходного вектора. Полученный вектор будет равен вектору по приведенному выше определению равенства векторов.
Над векторами, оказывается, можно производить некоторые операции, которые мы производим над числами (сложение, вычитание и т. п.) . При этом снова будут получаться некоторые векторы. Ниже мы обсудим, по какому правилу эти векторы строятся.