Оглавление

Предисловие 4

Раздел I. Элементы теории множеств и математической логики 6

Основные понятия теории множеств 6

Операции над множествами 6

7

Основные понятия математической логики 7

Операции над высказываниями (сложные высказывания) 9

Структура теорем (утверждений) 9

Раздел II. Основы линейной алгебры 11

Матрицы 11

Операции с матрицами 13

Определители матриц 17

Свойства определителей 22

Обратная матрица 24

Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) 28

Случай, когда число уравнений совпадает с числом неизвестных ( m = n ) 32

Формулы Крамера 35

Элементарные преобразования матриц. Ранг матрицы 36

Исследование общих систем линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли. 42

Эквивалентные системы 44

Решение систем линейных уравнений методом Гаусса 46

Решение систем линейных уравнений методом Жордана-Гаусса 48

Однородные системы 50

Собственные значения и собственные векторы квадратных матриц 54

Раздел III. Векторная алгебра и аналитическая геометрия 56

Векторы 56

Операции над векторами        59

Координаты вектора 63

Свойства координат вектора 66

Скалярное произведение векторов 70

Векторное произведение векторов 75

Уравнение линии на плоскости 78

Уравнение прямой линии на плоскости 80

Кривые второго порядка 94

Окружность 94

Эллипс 97

Гипербола 105

Парабола 109

Уравнение поверхности в пространстве 113

Уравнение плоскости 114

Уравнение линии в пространстве 122

Уравнение прямой линии в пространстве 124

Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве 135

Элементы теории поверхностей второго порядка 138

Предисловие

Цель данного учебного пособия − изложить в максимально доступной (для студентов нематематических специальностей) форме материал классического курса математики, предусмотренный образовательным стандартом.

На наш взгляд, методология преподавания математики для студентов математических и гуманитарных направлений должна быть разной. Для последних основное внимание должно быть направлено не на достижение безукоризненной формальной математической строгости изложения, а на раскрытие внутренней логики и естественности введения основных математических понятий, на доходчивое объяснение связей между ними, а также на возможность и способы применения тех или иных математических схем для решения разнообразных практических задач. После освоения основного курса студент должен воспринимать математику не как разрозненный набор формально безукоризненных выкладок с использованием специальных знаков и символов, а как логически стройную, эстетически привлекательную, живую и развивающуюся науку, позволяющую с успехом решать практические задачи, возникающие во всех сферах человеческой деятельности. В этом отношении наша позиция близка к позиции замечательного ученого, педагога и писателя Елены Сергеевны Вентцель (писательский псевдоним − И. Грекова). В предисловии к своей монографии «Исследование операций» она пишет следующее:

«… автор избегает чрезмерно чопорной, сухой манеры изложения, которая считается «хорошим тоном» в книгах по математике. Он позволяет себе время от времени и разговорный оборот речи, и шутку, а иногда (о ужас!) и не вполне точную формулировку, к которой при желании можно придраться. Книга рассчитана не на специалиста-математика, а в первую очередь на практика, впервые знакомящегося с предметом. Такого читателя обильные оговорки, делаемые в угоду «безукоризненной строгости», могли бы только оттолкнуть, заслонив от него существо дела».

Именно с этих позиций писалось и данное пособие. Я вполне сознательно заменяю (там, где это возможно) длинные формальные математические выкладки интуитивно ясными доступными рассуждениями или наглядной графической иллюстрацией. Если же формальное доказательство достаточно коротко и/или красиво, то оно также приводится (длинные и излишне формализованные доказательства утверждений опускаются). Данное пособие является полезным дополнением к читаемым лекциям, но не заменяет их, хотя стремится быть максимально полезным и в этом отношении, приближая по возможности язык пособия к живому языку лектора. Однако только при «живом» общении с аудиторией лектор может понять степень понимания студентами излагаемого материала, при необходимости меняя приемы и аргументацию приводимых утверждений для достижения необходимого результата − максимальной прозрачности изложенного. Особую роль для достижения этой цели играет и стиль чтения лекций. Для удержания внимания студентов при необходимости можно делать короткие забавные отступления от темы и даже рассказывать анекдоты, если они в тему, к месту и способствуют пониманию обсуждаемых понятий. Настоящее пособие отражает более чем 25-летний опыт автора чтения лекций и ведения практических занятий в различных ВУЗах. В течение этих лет оптимизировались (с учетом обратной связи) подходы и методика подачи материала, что в своем окончательном (на данный момент) виде нашло отражение в данном пособии.

Для закрепления пройденного материала и определения степени его понимания в конце данного пособия приводится сборник задач по всему базовому курсу математики, вопросы и задачи для самопроверки, примерный список вопросов для подготовки экзаменам, список литературы и словарь терминов, в котором при необходимости легко найти определение того или иного встреченного понятия или термина.