Задания для самостоятельной работы
1. Построить график
функции
в прямоугольной системе координат.
Диапазон изменения
и шаг выберите самостоятельно:
2. Построить график функции, заданной в полярной системе координат:
3. Построить график функции, заданной параметрическим способом:
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
,
4. Построить графики функций, используя функцию ЕСЛИ( )
а) Случай двух ветвей:
б) Случай трёх ветвей:
Лабораторный практикум № 4 Кривые второго порядка на плоскости
К кривым второго порядка относятся парабола, гипербола, эллипс (частный случай эллипса – окружность). Любая кривая второго порядка в общем виде описывается уравнением второй степени с двумя переменными:
(1)
Коэффициенты
,
и
не равны нулю одновременно.
Парабола
Параболой называется множество всех точек, расстояния которых до данной точки, называемой фокусом, и до данной прямой, называемой директрисой, равны.
Каноническими уравнениями параболы являются:
1)
,
где
- параметр
параболы, расстояние от фокуса до
директрисы, для кривой с горизонтально
расположенной осью; 2)
- для параболы
с вертикально расположенной осью.
Пример 1.
Рассмотрим параболу
.
Для неё
,
т.е.
;
осью параболы является ось
(в уравнении параболы переменная
в первой степени); ветви параболы
направлены вправо (так как
).
Для построения
кривой второго порядка в Excel
в уравнении кривой выражают
через
:
,
откуда следует, что
.
Это определяет диапазон изменения
аргумента
,
т.е. можно взять
,
например от 0 до 6.
Пример 2.
Рассмотрим параболу
.
Имеем
,
т.е.
;
осью параболы является ось
(в уравнении параболы переменная
в первой степени); ветви параболы
направлены вниз (так как
).
Выражаем
через
:
,
откуда ясно, что
- любое число. Поэтому в данном случае
диапазон изменения
берём симметрично относительно начала
координат, например, от -5 до +5.
Гипербола
Гиперболой
называется множество точек плоскости,
разность расстояний от которых до двух
данных точек
и
,
называемых фокусами,
есть величина постоянная, меньшая
расстояния между фокусами. Каноническое
уравнение гиперболы имеет вид:
,
,
или
,
,
.
Здесь
- расстояние
от начала координат до фокусов, а
- расстояние
от начала координат до вершин гиперболы.
В простейшем случае уравнение гиперболы имеет вид
.
Пример 3.
Рассмотрим гиперболу
.
1. Заметим, что в
уравнении гиперболы перед
подразумевается знак «+», а перед
стоит знак «-», это означает, что ось
является мнимой осью (гипербола не
пересекает мнимую ось), а ось
является действительной осью гиперболы
(гипербола пересекает действительную
ось в двух точках
,
- вершинах
гиперболы). Полуоси гиперболы находим
следующим образом:
,
откуда, так как
имеем, что
;
,
откуда, так как
имеем
.
2. Выразим
через
в уравнении гиперболы:
,
,
,
.
3. На
основании этого определим диапазон
изменения
,
т.е. найдём область определения полученной
функции:
,
,
.
Это означает, что правую ветвь гиперболы
надо строить в диапазоне
(т.е.
брать от 5 до, например, 8), а левую -
(т.е.
брать от -8 до -5).
Пример
4.
Рассмотрим гиперболу
.
1. Заметим, что в
уравнении гиперболы перед
подразумевается знак «+», а перед
стоит знак «-», это означает, что ось
является мнимой осью (гипербола не
пересекает мнимую ось), а ось
является действительной осью гиперболы
(данная гипербола пересекает действительную
ось в двух точках
,
- вершинах гиперболы).
Полуоси гиперболы:
,
откуда ,,
откуда
,
,
откуда
.
2. Выразим
через
в уравнении гиперболы:
,
,
,
.
3.
Определим диапазон изменения
,
т.е. найдём область определения полученной
функции. В данном случае
.
Поэтому при построении данной гиперболы
можно взять в диапазоне, например, от
-5 до 5.
Эллипс
Эллипсом
называется множество точек плоскости,
сумма расстояний которых до двух
данных точек (эта сумма обозначается
),
называемых фокусами,
есть величина постоянная, большая
расстояния
между фокусами. Каноническое уравнение
эллипса имеет вид:
(здесь
).
Так как
,
то
,
т.е. эксцентриситет эллипса находится
в пределах
.
Пример 5.
Рассмотрим эллипс
.
1. Так как
,
,
то его полуоси равны
,
.
Это означает, что все точки эллипса
имеют абсциссы в диапазоне
,
а ординаты в диапазоне
.
2. Выразим
через
в уравнении эллипса:
,
,
,
,
откуда
.
3. Находим область
определения полученной функции:
,
,
,
,
что было получено выше.