Лабораторный практикум № 3 Построение графиков функций, заданных различными способами

В данной работе изучается технология построения графиков функций, заданных различными способами:

I. В прямоугольной системе координат

1) явным способом, т.е. выражением вида (в том числе рассматриваются функции, заданные тремя ветками),

2) параметрическим способом, т.е. зависимостями вида .

II. В полярной системе координат уравнением вида , где - полярный радиус точки кривой, - полярный угол этой точки.

Остановимся подробно на полярной системе координат.

Для определения положения точки на плоскости, кроме декартовой системы координат, используется полярная система координат.

П усть на плоскости даны некоторая точка О и луч ОР с началом в этой точке, а также указана единица масштаба ОЕ=1 (рис. 1). Точка О называется полюсом, точка Е – единичной точкой, а луч ОР – полярной осью. Таким образом, элементами полярной системы координат являются: 1) точка О – полюс, 2) луч ОР, выходящий из точки О – полярная ось, 3) единица измерения длины.

Пусть М – произвольная точка плоскости. Полярным радиусом точки М называется расстояние r=ОМ от полюса до этой точки. Полярным углом  точки М называется угол, на который нужно повернуть полярную ось против вращения часовой стрелки до совпадения с лучом ОМ. Если под углом  понимать угол, который получается вращением полярной оси ОР по часовой стрелке до совпадения с ОМ, то  считают отрицательным. Кроме того, за полярный угол точки М можно принять угол +2n, где nZ. Полярный угол, удовлетворяющий условиям называется главным значением полярного угла.

Е сли точка М совпадает с полюсом, то r=0, а угол  не имеет определённого значения. Однако в некоторых задачах углу  придают определённое произвольное значение. Пара чисел (r,) называется полярными координатами точки М. Записывают это так: М(r,).

Пример. Построить точку по полярным координатам А .

Решение: Повернём полярную ось на угол . Затем отложим от полюса в положительном направлении построенной оси отрезок ОА, равный по длине четырём единицам (рис. 2). Заметим, что для точки А можно было указать другие координаты: А или А . Главным значением полярного угла точки А является .

Зависимости между полярными и прямоугольными координатами точки

У становим связь между декартовыми прямоугольными и полярными координатами одной и той же точки.

Пусть даны декартова прямоугольная система координат и полярная с полюсом в начале координат и полярной осью, совпадающей с осью абсцисс. Пусть М(х, у) – декартовы координаты точки М, М(r,) – её полярные координаты. Из прямоугольного треугольника OMN находим

(1)

Эти формулы выражают декартовы координаты точки М через её полярные координаты, т.е. зная полярные координаты точки М можно найти её декартовы координаты.

Решим обратную задачу: как найти полярные координаты точки М, зная её декартовы координаты. Для этого возведём обе части каждого из равенств (1) в квадрат и сложим их почленно. Получим , т.е. , откуда

(2)

Из равенств (1) также имеем

, (3)

Откуда

(4)

Полярный угол  можно находить из формул (3) либо из формулы (4). В последнем случае мы получим два значения угла . Из этих двух значений угла  нужно выбрать то, синус которого имеет тот же знак, что и y.