§ 2. Формы комплексного числа

Существует три формы комплексного числа, так как различные операции над комплексными числами удобнее проводить с различными формами.

1. Алгебраическая форма: z = x + iy.

Пример 1. Найти действительную и мнимую части, модуль, аргумент комплексного числа z = 2 + 3i, сопряженное к нему и изобразить z и на комплексной плоскости.

Р ешение.

Действительная и мнимая части: Rez = x = 2, Imz = y = 3.

Модуль: .

Аргумент:

Сопряженное к z равно , тогда, если z = 2 + 3i, то сопряженное к нему равно .

Комплексному числу z = 2 + 3i соответствует вектор , комплексному числу соответствует вектор , z и изображены на рис.2.

2. Тригонометрическая форма: .

И з рисунка 3 видно, что .

Если подставить данные выражения в алгебраическую форму, то получится комплексное число в тригонометрической форме:

z = x + iy = = .

Пример 2. Представить в алгебраической форме комплексное число . Найти к нему сопряженное.

Решение.

, отсюда .

или, что одно и то же .

3. Показательная форма:

Используя формулу Эйлера:

,

комплексное число можно записать в так называемой показательной форме:

z =

Примеры.

Пример 3. Представить в показательной форме комплексное число . Записать к нему сопряженное, найти модуль.

Решение.

, отсюда , тогда , r = 4.

Пример 4. Дано комплексное число . Записать его в трех формах.

Решение.

Алгебраическая форма комплексного числа: .

, .

Тригонометрическая форма комплексного числа: .

Показательная форма комплексного числа: .

Определение 8. Уравнение определяет на плоскости Гаусса окружность с центром в точке О и радиусом, равным а.

Пояснение: – уравнение окружности.

Определение 9. Уравнение определяет на плоскости Гаусса окружность с центром в точке z₀ и радиусом, равным а.

Пояснение:

– уравнение окружности с центром в точке и радиусом, равным а.

Замечание. Неравенство ( ) определяет множество точек верхней полуплоскости.

Неравенство ( ) определяет множество точек нижней полуплоскости.

Неравенство (x > 0) определяет множество точек правой полуплоскости.

Неравенство (x < 0) определяет множество точек левой полуплоскости.

Пример 5. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, задаваемых условиями 1) , 2) , 3) , 4) 5)

Решение.

1) – окружность с центром в точке О и радиусом равным 2 (рис. 4).

2) – окружность с центром в точке i и радиусом равным 1. (рис. 5).

3) часть плоскости за окружностью с центром в точке О радиусом 2, включая саму окружность. – сектор между двумя лучами: В пересечении получается часть плоскости за окружностью, включая саму окружность, лежащая внутри сектора раствором в (рис. 6).

4) , т.е. – полоса между осью (Ох) и прямой y = 2, не включая данную прямую (рис. 7).

5) – данная область – кольцо между окружностями , причем последняя не принадлежит области. – сектор между двумя лучами: В пересечении получается область внутри кольца между двумя лучами, не включая внутреннюю окружность (рис. 8).