8

Комплексные числа

§ 1. Основные понятия

Первоначальные данные о числе относятся к эпохе каменного века – палеомелита. Это «один», «мало» и «много». Записывались они в виде зарубок, узелков и т.д. Развитие трудовых процессов и появление собственности заставили человека изобрести числа и их названия. Первыми появились натуральные числа N, получаемые при счете предметов. Затем, наряду с необходимостью счета, у людей появилась потребность измерять длины, площади, объемы, время и другие величины, где приходилось учитывать и части употребляемой меры. Так возникли дроби. Формальное обоснование понятий дробного и отрицательного числа было осуществлено в 19 веке. Множество целых чисел Z – это натуральные числа, натуральные со знаком минус и нуль. Целые и дробные числа образовали совокупность рациональных чисел Q, но и она оказалась недостаточной для изучения непрерывно изменяющихся переменных величин. Бытие снова показало несовершенство математики: невозможность решить уравнение вида х² = 3, в связи с чем появились иррациональные числа I. Объединение множества рациональных чисел Q и иррациональных чисел I – множество действительных (или вещественных) чисел R. В итоге числовая прямая заполнилась: каждому действительному числу соответствовала на ней точка. Но на множестве R нет возможности решить уравнение вида х² = – а². Следовательно, снова возникла необходимость расширения понятия числа. Так в 1545 году появились комплексные числа. Их создатель Дж. Кардано называл их «чисто отрицательными». Название «мнимые» ввел в 1637 году француз Р. Декарт, в 1777 году Эйлер предложил использовать первую букву французского числа i для обозначения мнимой единицы. Этот символ вошел во всеобщее употребление благодаря К. Гауссу.

В течение 17 – 18 веков продолжалось обсуждение арифметической природы мнимостей, их геометрического истолкования. Датчанин Г. Вессель, француз Ж. Арган и немец К. Гаусс независимо друг от друга предложили изображать комплексное число точкой на координатной плоскости. Позднее оказалось, что еще удобнее изображать число не самой точкой, а вектором, идущим в эту точку из начала координат.

Лишь к концу 18 – началу 19 века комплексные числа заняли достойное место в математическом анализе. Первое их использование – в теории дифференциальных уравнений и в теории гидродинамики.

Определение 1. Комплексным числом называется выражение вида z = x + iy, где x и y – действительные числа, а i – мнимая единица, .

Два комплексных числа и равны тогда и только тогда, когда x₁ = x₂, y₁ = y₂,

Если x=0, то число 0+iy= iy называют чисто мнимым; если y=0, то число x+i0=x является действительным числом, это означает, что множество R С, где С – множество комплексных чисел.

Сопряженным к комплексному числу z = x + iy называется комплексное число .

Геометрическое изображение комплексных чисел.

Любое комплексное число z = x + iy можно изобразить точкой М(x, y) плоскости Oxy. Парой действительных чисел обозначаются и координаты радиус-вектора , т.е. между множеством векторов на плоскости и множеством комплексных чисел можно установить взаимно-однозначное соответствие: .

При таком истолковании сложению и вычитанию комплексных чисел соответствуют эти же операции над векторами.

Определение 2. Действительной частью комплексного числа z = x + iy называется действительное число х.

Обозначение: x = Rez (от латинского Realis).

О пределение 3. Мнимой частью комплексного числа z = x + iy называется действительное число y.

Обозначение: y = Imz (от латинского Imaginarius).

Rez откладывается на оси (Ох), Imz откладывается на оси (Оy), тогда вектор , соответствующий комплексному числу z = x + iy – это радиус-вектор точки М(x, y), (или М (Rez, Imz)) (рис. 1).

Определение 4. Плоскость, точкам которой поставлено в соответствие множество комплексных чисел, называется комплексной плоскостью или плоскостью Гаусса. Ось абсцисс называется действительной осью, так как на ней лежат действительные числа z = x + 0 i=x. Ось ординат называется мнимой осью, на ней лежат чисто мнимые комплексные числа z =0 + iy.

Обозначение – (z), С.

Определение 5. Модулем комплексного числа z = (x, y) называется длина вектора : , т.е. .

Определение 6. Аргументом комплексного числа z = x + iy называется угол между положительным направлением оси (Ох) и вектором : .

Из рисунка 1 видно, что .

Определение 7. Главным значением называется то его значение, которое удовлетворяет неравенству .

Аргумент комплексного числа находится по формуле:

Замечание 1. Аргумент комплексного числа определяется неоднозначно. Всякий угол, отличающийся от на слагаемое, кратное , обозначается Arg , ; где arg z – главное значение аргумента.

Замечание 2. В некоторых задачах главным значением можно взять то его значение, которое удовлетворяет неравенству