9.4. Оценка точности результатов моделирования

Оценка точности результатов моделирования связана c построе­нием доверительных интервалов для выходных переменных (откликов) модели. Количество реализаций (прогонов модели) и время прогона для каждой реализации модели определяют точность результатов. Если мо­дель детерминированная, то для получения точных результатов моде­лирования достаточно одного прогона. В общем случае данные одного прогона модели представляют единичную выборку или временной ряд. Временной ряд – это конечная реализация случайного процесса, т.е. в результате каждого прогона модели образуются временные ряды для каждого значения отклика модели исследуемых стохастических процессов. Для стохастических моделей рассматривают два режима рабо­ты: переходный и стационарный. Стационарный режим определяется стационарным процессом на выходе модели.

Если модель работает в переходном режиме, то необходимое количество прогонов модели можно рассчитать по тем же формулам, что и для метода статистических испытаний. Количество прогонов модели определяется в соответствии c формулами (3.23) и (3.26). Не­обходимую точность ε можно задать равной ± 5% от среднего значе­ния величины, для которой строится доверительный интервал при α = 0,96. Если модель реализована на языке GPSS, то необходимо после последнего прогона выполнить процедуру ANOVA.

Если число прогонов небольшое (менее тридцати), то при по­строении доверительного интервала используют распределение Стьюдента (t-распределение). При большем числе прогонов можно использовагь функцию нормального распределения.

Если критерием оценки является стоимостная характеристика (доход, прибыль, затраты и т. п.), которая определяется для стацио­нарного режима работы модели, то длина прогона может быть определена по результатам наблюдения за изменением величины, равной отношению оцениваемого показателя за весь период моделирования к продолжительности моделирования (например, затраты за единицу времени). Для этого в окне PLOT строят график изменения этой ве­личины. Длина прогона должна соответствовать стационарному ре­жиму функционирования модели (рис. 9.2). Статистические данные переходного периода работы модели не должны учитываться. Для этого используют команду RESET (см. параграф 4.27).

Рис. 9.2

Стационарность процесса c выхода модели можно также про­верить, наблюдая за его автоковариационной функцией. Если она имеет тенденцию к затуханию, то это свидетельствует в большинстве случаев о том, что в первом приближении процесс стационарный. Поскольку автоковариационная функция случайного процесса неиз­вестна, то ее можно только оценить. Учитывая то, что полученные из имитационной модели временные ряды достаточно длинные, оцени­вают автоковариационную функцию cov_h no формуле [12]

где N — количество точек во временном ряду; h – сдвиг по ряду; X_i – i-значение измеряемой переменной (i-я точка).

Особое значение при имитационном моделировании имеют ста­ционарные эргодические процессы, свойства которых могут быть оценены по результатам одного временного ряда.

Последовательность выборочных средних значений будет эргодической, если дисперсия величины стремится к нулю при неограниченном увеличении s :

Таким образом, выборочное среднее асимптотически стремится к математическому ожиданию, если дисперсия выборочного среднего стремится к нулю. В этом случае установившийся стационарный режим работы модели не будет зависеть от начальных условий модели­рования.

Чтобы проверить на практике, является процесс эргодическим или нет, необходимо резко изменить начальные условия моделирова­ния. Если модель сначала запускалась при условиях, что очереди бы­ли пустые, а устройства свободные, то второй прогон модели следует провести при наличии транзактов в очередях и устройствах. Если на выходе модели будут получены близкие результаты, то это обычно свидетельствует об эргодичности процесса.

В системе GPSS изменять условие моделирования можно, задав несколько блоков GENERATE и TRANSFER:

Здесь метка LABEL указывает на вход устройства, а N – на количество транзактов, которые посылаются в это устройство. Таким образом, в начальный момент в модели будут находиться уже N транзактов.

Для стационарных режимов работы системы, модель которой регенерирует (повторяется в вероятностном смысле), используют ме­тод построения доверительных интервалов [15]. Пример 9.1 построе­ния доверительного интервала для регенерирующих процессов при­веден для CMO c одним устройством обслуживания в программе Re­generative method.

В языке GPSS статистика о работе модели собирается автомати­чески или по желанию пользователя и выводится в файл результатов. Однако при этом не гарантируется надежность полученных оценок. Этим вопросом должен заниматься сам пользователь.

Для имитационных стохастических моделей, которые работают в переходном режиме, необходимо выполнить несколько прогонов модели, каждый из которых должен отличаться своей последовательностью псевдослучайных чисел. Для этого используется последова­тельность команд, аналогичная такой:

Команда RMULT разрешает устанавливать начальные значения множителей для генераторов случайных чисел. Команда CLEAR осуществляет сброс собранной статистики в предыдущем прогоне модели и удаляет транзакты из модели, но не устанавливает множи­тели генераторов случайных чисел в начальные значения.

При моделировании стохастических систем, работающих в ста­ционарном режиме, может быть использован регенерирующий ана­лиз, если эти системы регенерируют. Для CMO моменты регенерации определяются номерами тех требований, которые будут, например, заставать устройство обслуживания свободным. Класс регенерирую­щих систем довольно большой. К нему относятся стохастические се­ти CMO, система управления запасами и прочие системы. Поэтому приведем алгоритм построения 100(l-δ)% доверительного интервала c использованием этого метода [15].

1. Провести n циклов регенерации.

2. Вычислить Y_j и α_j для любого j-гo цикла, где Y_j – сумма ис­ходных значений переменной, полученной от имитационной модели на j-м цикле регенерации, и α_j – длина j-гo цикла (количество тран­зактов, которые попали в j-й цикл).

3. Вычислить выборочные статистики

где – среднее значение переменной, которая оценивается в имита­ционной модели; s₁₁, s₂₂, s₁₂ – соответственно выборочные дисперсии значений Y_j и α_j и выборочный второй смешанный момент значений (Y_j, α_j).

4. Сформировать доверительный интервал

где ; Ф – функция стандартизированного нормального распределения. Значение z*_δ = 1,645 для δ = 0,9; z*_δ = 1,96 для δ = 0,95.

Если начало первого цикла не совпадает c началом моделиро­вания, то данные, предшествующие первому циклу, необходимо от­бросить.

Пример 9.1 [18]

Покажем, как можно использовать данный алгоритм в GPSS-программе. Ниже приводится GPSS-программа для моделирования CMO вида M/M/1, для которой оценивается значение времени пребывания требования в системе и строится доверительный интервал c 90-процентным уровнем доверия.

Программа:

Так как моделируется CMO вида M/M/1, то согласно формуле (1.7) при C=1 теоретическое среднее время пребывания в CMO T= 1800, а результаты моделирования дают T = 1833,053±440,258 для 90% доверительной вероятности (MEIN ± DELTA). Теоретиче­ский коэффициент загрузки равен 0,9, а по результатам моделирования 0,901. Как видно, полученные результаты близкие к теоретиче­ским.

Приведенная программа может быть использована для лвзбой регенерирующей модели. Для этого между метками INP и OUT нуж­но вставить программу регенерирующей модели. Проверка циклов регенерации осуществляется по количеству транзактов, которые на­ходятся между этими метками. Цикл регенерации начинается, если в модели между указанными метками нет ни одного транзакта.

При моделировании систем управления запасами цикл начина­ется, когда достигается минимальная величина запаса, поэтому для таких моделей необходимо изменить условие проверки начала цикла регенерации.